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次の行列 $A$ が直交行列である時, $a$ の値として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$A = \dfrac{1}{6} \begin{pmatrix} -4 & 2 & 4 \\ -4 & a & -2 \\ 2 & -4 & 4 \end{pmatrix}$
$-4$
$4$
$2$
$-2$
行列 $A$ が ${}^t \!A = A^{-1}$ を満たす時, $A$ を直交行列という。
$\begin{eqnarray*} {}^t \!A A & = & \dfrac{1}{36} \begin{pmatrix} -4 & -4 & 2 \\ 2 & a & -4 \\ 4 & -2 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -4 & 2 & 4 \\ -4 & a & -2 \\ 2 & -4 & 4 \end{pmatrix}\\[1em] & = & \dfrac{1}{36} \begin{pmatrix} 36 & -4a - 16 & 0 \\ -4a - 16 & a^2 + 20 & -2a - 8 \\ 0 & -2a - 8 & 36 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
これが単位行列になればよいので $a = -4$ である。