$|A - \lambda E| = 0$ とすると

$ $$\begin{eqnarray*} |A - \lambda E| & = & \begin{vmatrix} -6 - \lambda & 15 \\ -2 & 7 - \lambda \end{vmatrix}\\[1em] & = & (-6 - \lambda)(7 - \lambda) + 30\\[1em] & = & \lambda^2 - \lambda - 12\\[1em] & = & (\lambda+3)(\lambda-4)=0\end{eqnarray*}$$ $

$\lambda_1 \lt \lambda_2$ より

$\lambda_1 = -3$, $\lambda_2 = 4$

である。

$\lambda = -3$ に対応する固有ベクトルを $\overrightarrow{v} = $$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$$ $ とし

$\left( A + 3E\right)\overrightarrow{v} = \overrightarrow{0}$

とすると

$ $$\begin{eqnarray*} \left( A + 3E\right)\overrightarrow{v} & = & \begin{pmatrix} -3 & 15 \\ -2 & 10 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix}- 3x + 15y \\ -2x + 10y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$$ $

ここから $x = 5y$ となる。代入すると

$\overrightarrow{v} = $$\begin{pmatrix} 5y \\ y \end{pmatrix}$$ = y $$\begin{pmatrix} 5 \\ 1 \end{pmatrix}$$ $

よって, 求める固有ベクトルは $\overrightarrow{v} = c $$\begin{pmatrix} 5 \\ 1 \end{pmatrix}$$ ~(c\not=0)$ である。

$|A - \lambda E| = 0$ とすると

$ $$\begin{eqnarray*} |A - \lambda E| & = & \begin{vmatrix} 7 - \lambda & -1 \\ 3 & 3 - \lambda \end{vmatrix}\\[1em] & = & (7 - \lambda)(3 - \lambda) + 3\\[1em] & = & \lambda^2 - 10\lambda + 24\\[1em] & = & (\lambda-4)(\lambda-6)=0\end{eqnarray*}$$ $

$\lambda_1 \lt \lambda_2$ より

$\lambda_1 = 4$, $\lambda_2 = 6$

である。

$\lambda = 4$ に対応する固有ベクトルを $\overrightarrow{v} = $$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$$ $ とし

$\left( A - 4E\right)\overrightarrow{v} = \overrightarrow{0}$

とすると

$ $$\begin{eqnarray*} \left( A - 4E\right)\overrightarrow{v} & = & \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 3 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} 3x - y \\ 3x - y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$$ $

ここから $y = 3x$ となる。代入すると

$\overrightarrow{v} = $$\begin{pmatrix} x \\ 3x \end{pmatrix}$$ = x $$\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix}$$ $

よって, 求める固有ベクトルは $\overrightarrow{v} = c $$\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix}$$ ~(c\not=0)$ である。

$|A - \lambda E| = 0$ とすると

$ $$\begin{eqnarray*} |A - \lambda E| & = & \begin{vmatrix} 13 - \lambda & 14 \\ 4 & 12 - \lambda \end{vmatrix}\\[1em] & = & (13 - \lambda)(12 - \lambda) - 56 \\[1em] & = & \lambda^2 - 25\lambda + 100\\[1em] & = & (\lambda-5)(\lambda-20)=0\end{eqnarray*}$$ $

$\lambda_1 \lt \lambda_2$ より

$\lambda_1 = 5$, $\lambda_2 = 20$

である。

$\lambda = 5$ に対応する固有ベクトルを $\overrightarrow{v} = $$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$$ $ とし

$\left( A - 5E\right)\overrightarrow{v} = \overrightarrow{0}$

とすると

$ $$\begin{eqnarray*} \left( A - 5E\right)\overrightarrow{v} & = & \begin{pmatrix} 8 & 14 \\ 4 & 7 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} 8x + 14y \\ 4x + 7y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$$ $

ここから $y = -\dfrac{4}{7}x$ となる。代入すると

$\overrightarrow{v} = $$\begin{pmatrix} x \\ -\dfrac{4}{7}x \end{pmatrix}$$ = \dfrac{1}{7}x $$\begin{pmatrix} 7 \\ -4 \end{pmatrix}$$ $

よって, 求める固有ベクトルは $\overrightarrow{v} = c $$\begin{pmatrix} 7 \\ -4 \end{pmatrix}$$ ~(c\not=0)$ である。

$|A - \lambda E| = 0$ とすると

$ $$\begin{eqnarray*} |A - \lambda E| & = & \begin{vmatrix} -13 - \lambda & -1 \\ -5 & -9 - \lambda \end{vmatrix}\\[1em] & = & (-13 - \lambda)(-9 - \lambda) - 5\\[1em] & = & \lambda^2 + 22\lambda + 112\\[1em] & = & (\lambda+14)(\lambda+8)=0\end{eqnarray*}$$ $

$\lambda_1 \lt \lambda_2$ より

$\lambda_1 = -14$, $\lambda_2 = -8$

である。

$\lambda = -14$ に対応する固有ベクトルを $\overrightarrow{v} = $$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$$ $ とし

$\left( A + 14E\right)\overrightarrow{v} = \overrightarrow{0}$

とすると

$ $$\begin{eqnarray*} \left( A + 14E\right)\overrightarrow{v} & = & \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -5 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} x - y \\ -5x + 5y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$$ $

ここから $y = x$ となる。代入すると

$\overrightarrow{v} = $$\begin{pmatrix} x \\ x \end{pmatrix}$$ = x $$\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$$ $

よって, 求める固有ベクトルは $\overrightarrow{v} = c $$\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$$ ~(c\not=0)$ である。