行列 $A = \begin{pmatrix} 13 & 14 \\ 4 & 12 \end{pmatrix}$ の $2$ つの固有値を $\lambda_1$, $\lambda_2$ ($\lambda_1 \lt \lambda_2$) とした時, $\lambda_1$ に対応する固有ベクトルとして最も適切なものを以下の選択肢から選びなさい。
$c\begin{pmatrix} 7 \\ -4 \end{pmatrix}~(c\not=0)$
$c\begin{pmatrix} 7 \\ 4 \end{pmatrix}~(c\not=0)$
$c\begin{pmatrix} 4 \\ -7 \end{pmatrix}~(c\not=0)$
$c\begin{pmatrix} 4 \\ 7 \end{pmatrix}~(c\not=0)$
$|A - \lambda E| = 0$ とすると
$\begin{eqnarray*} |A - \lambda E| & = & \begin{vmatrix} 13 - \lambda & 14 \\ 4 & 12 - \lambda \end{vmatrix}\\[1em] & = & (13 - \lambda)(12 - \lambda) - 56 \\[1em] & = & \lambda^2 - 25\lambda + 100\\[1em] & = & (\lambda-5)(\lambda-20)=0\end{eqnarray*}$
$\lambda_1 \lt \lambda_2$ より
$\lambda_1 = 5$, $\lambda_2 = 20$
である。
$\lambda = 5$ に対応する固有ベクトルを $\overrightarrow{v} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ とし
$\left( A - 5E\right)\overrightarrow{v} = \overrightarrow{0}$
とすると
$\begin{eqnarray*} \left( A - 5E\right)\overrightarrow{v} & = & \begin{pmatrix} 8 & 14 \\ 4 & 7 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} 8x + 14y \\ 4x + 7y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
ここから $y = -\dfrac{4}{7}x$ となる。代入すると
$\overrightarrow{v} = \begin{pmatrix} x \\ -\dfrac{4}{7}x \end{pmatrix} = \dfrac{1}{7}x\begin{pmatrix} 7 \\ -4 \end{pmatrix}$
よって, 求める固有ベクトルは $\overrightarrow{v} = c\begin{pmatrix} 7 \\ -4 \end{pmatrix}~(c\not=0)$ である。