$|A - \lambda E| = 0$ とすると

$ $$\begin{eqnarray*} |A - \lambda E| & = & \begin{vmatrix} 13 - \lambda & 14 \\ 4 & 12 - \lambda \end{vmatrix}\\[1em] & = & (13 - \lambda)(12 - \lambda) - 56 \\[1em] & = & \lambda^2 - 25\lambda + 100\\[1em] & = & (\lambda-5)(\lambda-20)=0\end{eqnarray*}$$ $

$\lambda_1 \lt \lambda_2$ より

$\lambda_1 = 5$, $\lambda_2 = 20$

である。

$\lambda = 5$ に対応する固有ベクトルを $\overrightarrow{v} = $$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$$ $ とし

$\left( A - 5E\right)\overrightarrow{v} = \overrightarrow{0}$

とすると

$ $$\begin{eqnarray*} \left( A - 5E\right)\overrightarrow{v} & = & \begin{pmatrix} 8 & 14 \\ 4 & 7 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} 8x + 14y \\ 4x + 7y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$$ $

ここから $y = -\dfrac{4}{7}x$ となる。代入すると

$\overrightarrow{v} = $$\begin{pmatrix} x \\ -\dfrac{4}{7}x \end{pmatrix}$$ = \dfrac{1}{7}x $$\begin{pmatrix} 7 \\ -4 \end{pmatrix}$$ $

よって, 求める固有ベクトルは $\overrightarrow{v} = c $$\begin{pmatrix} 7 \\ -4 \end{pmatrix}$$ ~(c\not=0)$ である。