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次の行列 $A$ が直交行列である時, $a$ の値として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$A = \dfrac{1}{3} \begin{pmatrix} -2 & 1 & -2 \\ a & -2 & 1 \\ -1 & 2 & 2 \end{pmatrix}$
$-2$
$2$
$1$
$-1$
行列 $A$ が ${}^t \!A = A^{-1}$ を満たす時, $A$ を直交行列という。
$\begin{eqnarray*} {}^t \!A A & = & \dfrac{1}{9} \begin{pmatrix} -2 & a & -1 \\ 1 & -2 & 2 \\ -2 & 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -2 & 1 & -2 \\ a & -2 & 1 \\ -1 & 2 & 2 \end{pmatrix}\\[1em] & = & \dfrac{1}{9} \begin{pmatrix} a^2 + 5 & -2a - 4 & a+2 \\ -2a - 4 & 9 & 0 \\ a+2 & 0 & 9 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
これが単位行列になればよいので $a = -2$ である。