行列 $A$ が ${}^t \!A = A^{-1}$ を満たす時, $A$ を直交行列という。

$ $$\begin{eqnarray*} {}^t \!A A & = & \dfrac{1}{9} \begin{pmatrix} -2 & a & -1 \\ 1 & -2 & 2 \\ -2 & 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -2 & 1 & -2 \\ a & -2 & 1 \\ -1 & 2 & 2 \end{pmatrix}\\[1em] & = & \dfrac{1}{9} \begin{pmatrix} a^2 + 5 & -2a - 4 & a+2 \\ -2a - 4 & 9 & 0 \\ a+2 & 0 & 9 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$$ $

これが単位行列になればよいので $a = -2$ である。