行列 $A$ が ${}^t \!A = A^{-1}$ を満たす時, $A$ を直交行列という。

$ $$\begin{eqnarray*} {}^t \!A A & = & \dfrac{1}{36}\begin{pmatrix} -4 & -4 & -2 \\ -4 & a & 4 \\ -2 & 4 & -4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -4 & -4 & -2 \\ -4 & a & 4 \\ -2 & 4 & -4 \end{pmatrix}\\[1em] & = & \dfrac{1}{36} \begin{pmatrix} 36 & 8-4a & 0 \\ 8-4a & a^2 + 32 & -(8-4a) \\ 0 & -(8-4a) & 36 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$$ $

これが単位行列になればよいので

$8-4a=0$

よって $a = 2$ である。