$|A - \lambda E| = 0$ とすると

$ $$\begin{eqnarray*} |A - \lambda E| & = & \begin{vmatrix} -6 - \lambda & 15 \\ -2 & 7 - \lambda \end{vmatrix}\\[1em] & = & (-6 - \lambda)(7 - \lambda) + 30\\[1em] & = & \lambda^2 - \lambda - 12\\[1em] & = & (\lambda+3)(\lambda-4)=0\end{eqnarray*}$$ $

$\lambda_1 \lt \lambda_2$ より

$\lambda_1 = -3$, $\lambda_2 = 4$

である。

$\lambda = -3$ に対応する固有ベクトルを $\overrightarrow{v} = $$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$$ $ とし

$\left( A + 3E\right)\overrightarrow{v} = \overrightarrow{0}$

とすると

$ $$\begin{eqnarray*} \left( A + 3E\right)\overrightarrow{v} & = & \begin{pmatrix} -3 & 15 \\ -2 & 10 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix}- 3x + 15y \\ -2x + 10y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$$ $

ここから $x = 5y$ となる。代入すると

$\overrightarrow{v} = $$\begin{pmatrix} 5y \\ y \end{pmatrix}$$ = y $$\begin{pmatrix} 5 \\ 1 \end{pmatrix}$$ $

よって, 求める固有ベクトルは $\overrightarrow{v} = c $$\begin{pmatrix} 5 \\ 1 \end{pmatrix}$$ ~(c\not=0)$ である。