一般に $(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$ であるから

$\begin{eqnarray*} (ABC)^{-1} & = & ((AB)C)^{-1}\\[1em] & = & C^{-1}(AB)^{-1}\\[1em] & = & C^{-1}B^{-1}A^{-1} \end{eqnarray*}$

よって, 一般に $(ABC)^{-1} = C^{-1}B^{-1}A^{-1}$ である。

一般に $(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$ かつ $(A^{-1})^{-1} = A$ であるから

$\begin{eqnarray*} (A^{-1}(BC)^{-1})^{-1} & = & ((BC)^{-1})^{-1}(A^{-1})^{-1}\\[1em] & = & (BC)A\\[1em] & = & BCA \end{eqnarray*}$

よって, 一般に $(A^{-1}(BC)^{-1})^{-1} = BCA$ である。

一般に $(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$ であるから

$\begin{eqnarray*} (AB)^{-1}(CD)^{-1} & = & (B^{-1}A^{-1})(D^{-1}C^{-1}) \\[1em] & = & B^{-1}A^{-1}D^{-1}C^{-1} \end{eqnarray*}$

よって, 一般に $(AB)^{-1}(CD)^{-1} = B^{-1}A^{-1}D^{-1}C^{-1}$ である。

一般に $(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$ かつ $(A^{-1})^{-1}$ であるから

$\begin{eqnarray*} (A^{-1}B)^{-1}C & = & (B^{-1}(A^{-1})^{-1})C\\[1em] & = & (B^{-1}A)C\\[1em] & = & B^{-1}AC \end{eqnarray*}$

よって, 一般に $(A^{-1}B)^{-1}C = B^{-1}AC$ である。

一般に $(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$ であるから

$\begin{eqnarray*} ((AB^{-1}C)^{-1}D)^{-1} & = & D^{-1} ((AB^{-1}C)^{-1})^{-1}\\[1em] & = & D^{-1}(AB^{-1}C) \\[1em] & = & D^{-1}AB^{-1}C \end{eqnarray*}$

よって, 一般に $((AB^{-1}C)^{-1}D)^{-1} = D^{-1}AB^{-1}C$ である。

一般に $(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$ かつ $(A^{-1})^{-1} = A$ であるから

$\begin{eqnarray*}((A^{-1}B)^{-1}C)^{-1}& = & C^{-1}((A^{-1}B)^{-1})^{-1} \\[1em] & = & C^{-1}(A^{-1}B)\\[1em] & = & C^{-1}A^{-1}B \end{eqnarray*}$

よって, 一般に $((A^{-1}B)^{-1}C)^{-1} = C^{-1}A^{-1}B$ である。