$\left\{ $$\begin{aligned} x + 2y - 2z &= 3 ~~\cdots ({\rm I}) \\ 3x + y + z &= -6 ~~\cdots ({\rm II}) \\ 4x + 3y - z &= -3 ~~\cdots ({\rm III}) \end{aligned}$$ \right.$

とすると, 拡大係数行列は

$ $$\begin{pmatrix} 1 & 2 & -2 & 3 \\ 3 & 1 & 1 & -6 \\ 4 & 3 & -1 & -3 \end{pmatrix}$$ $

であり, 行基本変形を行うと

$ $$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & -2 & 3 \\ 3 & 1 & 1 & -6 \\ 4 & 3 & -1 & -3 \end{pmatrix} & \xrightarrow{({\rm II}) - 3 \times ({\rm I}) } & \begin{pmatrix} 1 & 2 & -2 & 3 \\ 0 & -5 & 7 & -15 \\ 4 & 3 & -1 & -3 \end{pmatrix} \\[1em] & \xrightarrow{ ({\rm III}) - 4\times ({\rm I}) } &  \begin{pmatrix} 1 & 2 & -2 & 3 \\ 0 & -5 & 7 & -15 \\ 0 & -5 & 7 & -15 \end{pmatrix}\\[1em] & \xrightarrow{({\rm III}) - ({\rm II})} & \begin{pmatrix} 1 & 2 & -2 & 3 \\ 0 & -5 & 7 & -15 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$$ $

となる。すなわち

$\left\{ $$\begin{aligned} x + 2y - 2z &= 3 \\ -5y + 7z &= -15 \end{aligned}$$ \right.$

であり, $z= 5t$ として $2$ つ目の式に代入すると

$y = 3 + 7t$

また, これらを $1$ つ目の式に代入すると

$x = 3 - 2(3+7t) + 10t = -3 - 4t$

よって $x = -3 - 4t$, $y = 3 + 7t$, $z = 5t$ ($t$ は任意の数) である。