$\left\{ \begin{aligned} x - 3y - 2z &= 14 ~~\cdots ({\rm I}) \\ -3x + 2y - z &= -7 ~~\cdots ({\rm II}) \\ -3x - y - 4z &= 8 ~~\cdots ({\rm III}) \end{aligned} \right.$

とすると, 拡大係数行列は

$\begin{pmatrix} 1 & -3 & -2 & 14 \\ -3 & 2 & -1 & -7 \\ -3 & -1 & -4 & 8 \end{pmatrix}$

であり, 行基本変形を行うと

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & -3 & -2 & 14 \\ -3 & 2 & -1 & -7 \\ -3 & -1 & -4 & 8 \end{pmatrix} & \xrightarrow{({\rm II}) + 3 \times ({\rm I}) } & \begin{pmatrix} 1 & -3 & -2 & 14 \\ 0 & -7 & -7 & 35 \\ -3 & -1 & -4 & 8 \end{pmatrix} \\[1em] & \xrightarrow{ ({\rm II}) ~\div~ (-7) } &  \begin{pmatrix} 1 & -3 & -2 & 14 \\ 0 & 1 & 1 & -5 \\ -3 & -1 & -4 & 8 \end{pmatrix}\\[1em] & \xrightarrow{ ({\rm III}) + 3 \times ({\rm I}) } &  \begin{pmatrix} 1 & -3 & -2 & 14 \\ 0 & 1 & 1 & -5 \\ 0 & -10 & -10 & 50 \end{pmatrix}\\[1em] & \xrightarrow{({\rm III}) + 10 \times ({\rm II})} & \begin{pmatrix} 1 & -3 & -2 & 14 \\ 0 & 1 & 1 & -5 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

となる。すなわち

$\left\{ \begin{aligned} x - 3y - 2z &= 14 \\ y + z &= -5 \end{aligned} \right.$

であり, $z= t$ として $2$ つ目の式に代入すると

$y = -5 - t$

また, これらを $1$ つ目の式に代入すると

$x = 14 + 3(-5 - t) + 2t = -1 - t$

よって $x = -1 - t$, $y = -5 - t$, $z = t$ ($t$ は任意の数) である。