次の連立一次方程式の解として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$\left\{ \begin{aligned} x - 4y + 4z &= 1 \\ x - y - 2z &= 4 \\ 2x - 3y - 2z &= 7 \end{aligned} \right.$
$\left\{ \begin{aligned} x& = 5 + 4t\\ y &= 1 + 2t \\ z & = t \end{aligned} \right.$ ($t$ は任意の数)
$\left\{ \begin{aligned} x& = 13 - 12t\\ y &= 3 - 2t \\ z & = t \end{aligned} \right.$ ($t$ は任意の数)
$\left\{ \begin{aligned} x& = 13 + 4t \\ y &= 3 + 2t \\ z & = t \end{aligned} \right.$ ($t$ は任意の数)
$\left\{ \begin{aligned} x& = 5 - 12t \\ y &= 1 - 2t \\ z & = t \end{aligned} \right.$ ($t$ は任意の数)
$\left\{ \begin{aligned} x - 4y + 4z &= 1 ~~\cdots ({\rm I}) \\ x - y - 2z &= 4 ~~\cdots ({\rm II}) \\ 2x - 3y - 2z &= 7 ~~\cdots ({\rm III}) \end{aligned} \right.$
とすると, 拡大係数行列は
$\begin{pmatrix} 1 & -4 & 4 & 1 \\ 1 & -1 & -2 & 4 \\ 2 & -3 & -2 & 7 \end{pmatrix}$
であり, 行基本変形を行うと
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & -4 & 4 & 1 \\ 1 & -1 & -2 & 4 \\ 2 & -3 & -2 & 7 \end{pmatrix} & \xrightarrow{({\rm II}) - ({\rm I}) } & \begin{pmatrix} 1 & -4 & 4 & 1 \\ 0 & 3 & -6 & 3 \\ 2 & -3 & -2 & 7 \end{pmatrix} \\[1em] & \xrightarrow{ ({\rm II}) ~\div ~3 } & \begin{pmatrix} 1 & -4 & 4 & 1 \\ 0 & 1 & -2 & 1 \\ 2 & -3 & -2 & 7 \end{pmatrix}\\[1em] & \xrightarrow{ ({\rm III}) - 2\times ({\rm I}) } & \begin{pmatrix} 1 & -4 & 4 & 1 \\ 0 & 1 & -2 & 1 \\ 0 & 5 & -10 & 5 \end{pmatrix}\\[1em] & \xrightarrow{({\rm III}) - 5\times ({\rm II})} & \begin{pmatrix} 1 & -4 & 4 & 1 \\ 0 & 1 & -2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
となる。すなわち
$\left\{ \begin{aligned} x - 4y + 4z &= 1 \\ y - 2z &= 1 \end{aligned} \right.$
であり, $z= t$ として $2$ つ目の式に代入すると
$y = 1 + 2t$
また, これらを $1$ つ目の式に代入すると
$x = 1 + 4(1+2t) - 4t = 5 + 4t$
よって $x = 5 + 4t$, $y = 1 + 2t$, $z = t$ ($t$ は任意の数) である。