$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -3 \\ -3 & -2 & 5 \\ 2 & 5 & -2 \end{pmatrix}$ の逆行列を $A^{-1} = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}$ とした時, $a_{11}$ として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$-\dfrac{21}{20}$
$-\dfrac{11}{20}$
$\dfrac{1}{20}$
$\dfrac{11}{20}$
$A$ と単位行列 $E$ を並べた行列 $(A~E)$ に行基本変形を施すと
$\begin{eqnarray*} (A~E) & = & \begin{pmatrix} 1 & 2 & -3 & 1 & 0 & 0 \\ -3 & -2 & 5 & 0 & 1 & 0 \\ 2 & 5 & -2 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \\[1em] & \xrightarrow{ (2) + 3\times (1)} & \begin{pmatrix} 1 & 2 & -3 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & -4 & 3 & 1 & 0 \\ 2 & 5 & -2 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \\[1em] & \xrightarrow{(3) - 2\times(1) } & \begin{pmatrix} 1 & 2 & -3 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & -4 & 3 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 4 & -2 & 0 & 1 \end{pmatrix} \\[1em] & \xrightarrow{\frac{1}{4} \times (2)} & \begin{pmatrix} 1 & 2 & -3 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & \dfrac{3}{4} & \dfrac{1}{4} & 0 \\ 0 & 1 & 4 & -2 & 0 & 1 \end{pmatrix} \\[1em] & \xrightarrow{(1) - 2 \times(2)} & \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & -\dfrac{1}{2} & -\dfrac{1}{2} & 0 \\ 0 & 1 & -1 & \dfrac{3}{4} & \dfrac{1}{4} & 0 \\ 0 & 1 & 4 & -2 & 0 & 1 \end{pmatrix} \\[1em] & \xrightarrow{(3) - (2)} & \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & -\dfrac{1}{2} & -\dfrac{1}{2} & 0 \\ 0 & 1 & -1 & \dfrac{3}{4} & \dfrac{1}{4} & 0 \\ 0 & 0 & 5 & - \dfrac{11}{4} & - \dfrac{1}{4} & 1 \end{pmatrix} \\[1em] & \xrightarrow{ \frac{1}{5} \times (3)} & \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & -\dfrac{1}{2} & -\dfrac{1}{2} & 0 \\ 0 & 1 & -1 & \dfrac{3}{4} & \dfrac{1}{4} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & - \dfrac{11}{20} & - \dfrac{1}{20} & \dfrac{1}{5} \end{pmatrix} \\[1em] & \xrightarrow{(1) + (3)} & \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & -\dfrac{21}{20} & -\dfrac{11}{20} & \dfrac{1}{5} \\ 0 & 1 & -1 & \dfrac{3}{4} & \dfrac{1}{4} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & - \dfrac{11}{20} & - \dfrac{1}{20} & \dfrac{1}{5} \end{pmatrix} \\[1em] & \xrightarrow{(2) + (3)} & \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & -\dfrac{21}{20} & -\dfrac{11}{20} & \dfrac{1}{5} \\ 0 & 1 & 0 & \dfrac{1}{5} & \dfrac{1}{5} & \dfrac{1}{5} \\ 0 & 0 & 1 & - \dfrac{11}{20} & - \dfrac{1}{20} & \dfrac{1}{5} \end{pmatrix} \\[1em] \end{eqnarray*}$
よって
$A^{-1} = \begin{pmatrix} -\dfrac{21}{20} & -\dfrac{11}{20} & \dfrac{1}{5} \\ \dfrac{1}{5} & \dfrac{1}{5} & \dfrac{1}{5} \\ - \dfrac{11}{20} & - \dfrac{1}{20} & \dfrac{1}{5}\end{pmatrix}$
なので $a_{11} = -\dfrac{21}{20}$ である。