$A = \begin{pmatrix} 1 & -3 & -3 \\ 5 & -2 & -2 \\ -2 & 3 & -1 \end{pmatrix}$ の逆行列を $A^{-1} = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}$とした時, $a_{33}$ として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$-\dfrac{1}{4}$
$\dfrac{1}{4}$
$-\dfrac{1}{13}$
$\dfrac{1}{13}$
$A$ と単位行列 $E$ を並べた行列 $(A~E)$ に行基本変形を施すと
$\begin{eqnarray*} (A~E) & = & \begin{pmatrix} 1 & -3 & -3 & 1 & 0 & 0 \\ 5 & -2 & -2 & 0 & 1 & 0 \\ -2 & 3 & -1 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \\[1em] & \xrightarrow{ (2) - 5\times (1)} & \begin{pmatrix} 1 & -3 & -3 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 13 & 13 & -5 & 1 & 0 \\ -2 & 3 & -1 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \\[1em] & \xrightarrow{(3) + 2\times(1) } & \begin{pmatrix} 1 & -3 & -3 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 13 & 13 & -5 & 1 & 0 \\ 0 & -3 & -7 & 2 & 0 & 1 \end{pmatrix} \\[1em] & \xrightarrow{\frac{1}{13} \times (2)} & \begin{pmatrix} 1 & -3 & -3 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & - \dfrac{5}{13} & \dfrac{1}{13} & 0 \\ 0 & -3 & -7 & 2 & 0 & 1 \end{pmatrix} \\[1em] & \xrightarrow{(1) + 3\times(2)} & \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & -\dfrac{2}{13} & \dfrac{3}{13} & 0 \\ 0 & 1 & 1 & - \dfrac{5}{13} & \dfrac{1}{13} & 0 \\ 0 & -3 & -7 & 2 & 0 & 1 \end{pmatrix} \\[1em] & \xrightarrow{(3) + 3\times(2)} & \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & -\dfrac{2}{13} & \dfrac{3}{13} & 0 \\ 0 & 1 & 1 & - \dfrac{5}{13} & \dfrac{1}{13} & 0 \\ 0 & 0 & -4 & \dfrac{11}{13} & \dfrac{3}{13} & 1 \end{pmatrix} \\[1em] & \xrightarrow{-\frac{1}{4} \times (3)} & \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & -\dfrac{2}{13} & \dfrac{3}{13} & 0 \\ 0 & 1 & 1 & - \dfrac{5}{13} & \dfrac{1}{13} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -\dfrac{11}{52} & -\dfrac{3}{52} & -\dfrac{1}{4} \end{pmatrix} \\[1em] & \xrightarrow{(2) - (3)} & \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & -\dfrac{2}{13} & \dfrac{3}{13} & 0 \\ 0 & 1 & 0 & - \dfrac{9}{52} & \dfrac{7}{52} & \dfrac{1}{4} \\ 0 & 0 & 1 & -\dfrac{11}{52} & -\dfrac{3}{52} & -\dfrac{1}{4} \end{pmatrix} \\[1em] \end{eqnarray*}$
よって
$A^{-1} = \begin{pmatrix} -\dfrac{2}{13} & \dfrac{3}{13} & 0 \\ - \dfrac{9}{52} & \dfrac{7}{52} & \dfrac{1}{4} \\-\dfrac{11}{52} & -\dfrac{3}{52} & -\dfrac{1}{4} \end{pmatrix}$
なので $a_{33} = -\dfrac{1}{4}$ である。