$A$ と単位行列 $E$ を並べた行列 $(A~E)$ に行基本変形を行うと

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & 3 & -4 & 1 & 0 & 0 \\ 7 & 14 & -2 & 0 & 1 & 0 \\ 4 & 8 & -1 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} & \longrightarrow & \begin{pmatrix} 2 & 3 & -4 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 5 & 10 & -3 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 7 & -2 & 0 & 1 \end{pmatrix}\\[1em] & \longrightarrow & \begin{pmatrix} 1 & 5 & 10 & -3 & 1 & 0 \\ 2 & 3 & -4 & 1 & 0 & 0 \\  0 & 2 & 7 & -2 & 0 & 1 \end{pmatrix}\\[1em] & \longrightarrow & \begin{pmatrix} 1 & 5 & 10 & -3 & 1 & 0 \\ 0 & -7 & -24 & 7 & -2 & 0 \\  0 & 2 & 7 & -2 & 0 & 1 \end{pmatrix}\\[1em] & \longrightarrow & \begin{pmatrix} 1 & 5 & 10 & -3 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 4 & -1 & -2 & 4 \\  0 & 2 & 7 & -2 & 0 & 1 \end{pmatrix}\\[1em] & \longrightarrow & \begin{pmatrix} 1 & 0 & -10 & 2 & 11 & -20 \\ 0 & 1 & 4 & -1 & -2 & 4 \\  0 & 0 & -1 & 0 & 4 & -7 \end{pmatrix}\\[1em] & \longrightarrow & \begin{pmatrix} 1 & 0 & -10 & 2 & 11 & -20 \\ 0 & 1 & 4 & -1 & -2 & 4 \\  0 & 0 & 1 & 0 & -4 & 7 \end{pmatrix}\\[1em] & \longrightarrow & \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 2 & -29 & 50 \\ 0 & 1 & 0 & -1 & 14 & -24 \\  0 & 0 & 1 & 0 & -4 & 7 \end{pmatrix}\\[1em]  \end{eqnarray*}$

よって

$A^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & -29 & 50 \\ -1 & 14 & -24 \\ 0 & -4 & 7 \end{pmatrix}$

である。

$A\overrightarrow{x} = \overrightarrow{b}$

の左から $A^{-1}$ を掛けると

$\begin{eqnarray*}\overrightarrow{x} & = & A^{-1}\overrightarrow{b}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} 2 & -29 & 50 \\ -1 & 14 & -24 \\ 0 & -4 & 7 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 7 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$