行列 $A = \begin{pmatrix} 0 & -11 & 8 \\ 4 & -2 & 1 \\ -1 & -4 & 3 \end{pmatrix}$ と, 列ベクトル $\overrightarrow{x} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$, $\overrightarrow{b}= \begin{pmatrix} -2 \\ 5 \\ -2 \end{pmatrix} $ が
$A\overrightarrow{x} = \overrightarrow{b}$
を満たす時, $\overrightarrow{x}$ として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ -3 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -3 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} -3 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ -2 \end{pmatrix}$
$A$ と単位行列 $E$ を並べた行列 $(A~E)$ に行基本変形を行うと
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & -11 & 8 & 1 & 0 & 0 \\ 4 & -2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ -1 & -4 & 3 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} & \longrightarrow & \begin{pmatrix} -1 & -4 & 3 & 0 & 0 & 1 \\ 4 & -2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -11 & 8 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\\[1em] & \longrightarrow & \begin{pmatrix} 1 & 4 & -3 & 0 & 0 & -1 \\ 4 & -2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -11 & 8 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\\[1em] & \longrightarrow & \begin{pmatrix} 1 & 4 & -3 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & -18 & 13 & 0 & 1 & 4 \\ 0 & -11 & 8 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$2$ 行目から $3$ 行目の $2$ 倍を引くと
$\begin{pmatrix} 1 & 4 & -3 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & -18 & 13 & 0 & 1 & 4 \\ 0 & -11 & 8 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \longrightarrow \begin{pmatrix} 1 & 4 & -3 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 4 & -3 & -2 & 1 & 4 \\ 0 & -11 & 8 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$
$3$ 行目に $2$ 行目の $3$ 倍を加えると
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 4 & -3 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 4 & -3 & -2 & 1 & 4 \\ 0 & -11 & 8 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} & \longrightarrow & \begin{pmatrix} 1 & 4 & -3 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 4 & -3 & -2 & 1 & 4 \\ 0 & 1 & -1 & -5 & 3 & 12 \end{pmatrix}\\[1em] & \longrightarrow & \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 2 & -1 & -5 \\ 0 & 4 & -3 & -2 & 1 & 4 \\ 0 & 1 & -1 & -5 & 3 & 12 \end{pmatrix}\\[1em] & \longrightarrow & \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 2 & -1 & -5 \\ 0 & 1 & -1 & -5 & 3 & 12 \\ 0 & 4 & -3 & -2 & 1 & 4\end{pmatrix}\\[1em] & \longrightarrow & \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 2 & -1 & -5 \\ 0 & 1 & -1 & -5 & 3 & 12 \\ 0 & 0 & 1 & 18 & -11 & -44 \end{pmatrix}\\[1em] & \longrightarrow & \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 2 & -1 & -5 \\ 0 & 1 & 0 & 13 & -8 & -32 \\ 0 & 0 & 1 & 18 & -11 & -44 \end{pmatrix} \end{eqnarray*} $
よって
$A^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & -1 & -5 \\ 13 & -8 & -32 \\ 18 & -11 & -44 \end{pmatrix}$
である。
$A\overrightarrow{x} = \overrightarrow{b}$
の左から $A^{-1}$ を掛けると
$\begin{eqnarray*}\overrightarrow{x} & = & A^{-1}\overrightarrow{b}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} 2 & -1 & -5 \\ 13 & -8 & -32 \\ 18 & -11 & -44 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -2 \\ 5 \\ -2 \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ -3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$