$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -4 \\ 2 & 4 & -1 \\ -1 & -1 & 2 \end{pmatrix}$ の逆行列を $A^{-1} = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}$とした時, $a_{23}$ として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$\dfrac{7}{4}$
$-\dfrac{11}{4}$
$-\dfrac{9}{4}$
$\dfrac{3}{4}$
$A$ と単位行列 $E$ を並べた行列 $(A~E)$ に行基本変形を施すと
$\begin{eqnarray*} (A~E) & = & \begin{pmatrix} 1 & 1 & -4 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 4 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ -1 & -1 & 2 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \\[1em] & \xrightarrow{ (2) - 2\times (1)} & \begin{pmatrix} 1 & 1 & -4 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 7 & -2 & 1 & 0 \\ -1 & -1 & 2 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \\[1em] & \xrightarrow{(3) + (1) } & \begin{pmatrix} 1 & 1 & -4 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 7 & -2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -2 & 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \\[1em] & \xrightarrow{\frac{1}{2} \times (2)} & \begin{pmatrix} 1 & 1 & -4 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \dfrac{7}{2} & -1 & \dfrac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & -2 & 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \\[1em] & \xrightarrow{(1) - (2)} & \begin{pmatrix} 1 & 0 & -\dfrac{15}{2} & 2 & -\dfrac{1}{2} & 0 \\ 0 & 1 & \dfrac{7}{2} & -1 & \dfrac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & -2 & 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \\[1em] & \xrightarrow{-\frac{1}{2} \times (3)} & \begin{pmatrix} 1 & 0 & -\dfrac{15}{2} & 2 & -\dfrac{1}{2} & 0 \\ 0 & 1 & \dfrac{7}{2} & -1 & \dfrac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -\dfrac{1}{2} & 0 & -\dfrac{1}{2} \end{pmatrix} \\[1em] & \xrightarrow{(1) + \frac{15}{2} \times (3)} & \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & -\dfrac{7}{4} & -\dfrac{1}{2} & -\dfrac{15}{4} \\ 0 & 1 & \dfrac{7}{2} & -1 & \dfrac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -\dfrac{1}{2} & 0 & -\dfrac{1}{2} \end{pmatrix} \\[1em] & \xrightarrow{(2) - \frac{7}{2} \times (3)} & \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & -\dfrac{7}{4} & -\dfrac{1}{2} & -\dfrac{15}{4} \\ 0 & 1 & 0 & \dfrac{3}{4} & \dfrac{1}{2} & \dfrac{7}{4} \\ 0 & 0 & 1 & -\dfrac{1}{2} & 0 & -\dfrac{1}{2} \end{pmatrix} \\[1em] \end{eqnarray*}$
よって
$A^{-1} = \begin{pmatrix} -\dfrac{7}{4} & -\dfrac{1}{2} & -\dfrac{15}{4} \\ \dfrac{3}{4} & \dfrac{1}{2} & \dfrac{7}{4} \\ -\dfrac{1}{2} & 0 & -\dfrac{1}{2} \end{pmatrix}$
なので $a_{23} = \dfrac{7}{4}$ である。