$A$ と単位行列 $E$ を並べた行列 $(A~E)$ に行基本変形を行うと

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -3 & 5 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 4 & 0 & 1 & 0 \\ -4 & 5 & 1 & 0 & 0 & 1\end{pmatrix} & \longrightarrow & \begin{pmatrix} 1 & -1 & 4 & 0 & 1 & 0 \\ -3 & 5 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ -4 & 5 & 1 & 0 & 0 & 1\end{pmatrix}\\[1em] & \longrightarrow & \begin{pmatrix} 1 & -1 & 4 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 14 & 1 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & 17 & 0 & 4 & 1\end{pmatrix}\\[1em] & \longrightarrow & \begin{pmatrix} 1 & -1 & 4 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 17 & 0 & 4 & 1 \\ 0 & 2 & 14 & 1 & 3 & 0 \end{pmatrix}\\[1em] & \longrightarrow & \begin{pmatrix} 1 & 0 & 21 & 0 & 5 & 1 \\ 0 & 1 & 17 & 0 & 4 & 1 \\ 0 & 0 & -20 & 1 & -5 & -2 \end{pmatrix}\\[1em] & \longrightarrow & \begin{pmatrix} 1 & 0 & 21 & 0 & 5 & 1 \\ 0 & 1 & 17 & 0 & 4 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & -\dfrac{1}{20} & \dfrac{1}{4} & \dfrac{1}{10} \end{pmatrix}\\[1em] & \longrightarrow & \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & \dfrac{21}{20} & - \dfrac{1}{4} & -\dfrac{11}{10} \\ 0 & 1 & 0 & \dfrac{17}{20} & -\dfrac{1}{4} & -\dfrac{7}{10} \\ 0 & 0 & 1 & -\dfrac{1}{20} & \dfrac{1}{4} & \dfrac{1}{10} \end{pmatrix}\\[1em]  \end{eqnarray*}$

よって

$A^{-1} = \dfrac{1}{20}\begin{pmatrix} 21 & -5 & -22 \\ 17 & -5 & -14 \\ -1 & 5 & 2 \end{pmatrix}$

である。

$A\overrightarrow{x} = \overrightarrow{b}$

の左から $A^{-1}$ を掛けると

$\begin{eqnarray*}\overrightarrow{x} & = & A^{-1}\overrightarrow{b}\\[1em] & = & \dfrac{1}{20}\begin{pmatrix} 21 & -5 & -22 \\ 17 & -5 & -14 \\ -1 & 5 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -28 \\ 2 \\ -29 \end{pmatrix}\\[1em] & = & \dfrac{1}{20} \begin{pmatrix} 40 \\ -80 \\ -20 \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$