行列 $A = \begin{pmatrix} -2 & -1 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & -4 & -3 \end{pmatrix}$ と, 列ベクトル $\overrightarrow{x} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$, $\overrightarrow{b}= \begin{pmatrix} 10 \\ -13 \\ 15 \end{pmatrix} $ が
$A\overrightarrow{x} = \overrightarrow{b}$
を満たす時, $\overrightarrow{x}$ として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$\begin{pmatrix} -4 \\ -4 \\ -1 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} 4 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} -4 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}$
$A$ と単位行列 $E$ を並べた行列 $(A~E)$ に行基本変形を行うと
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -2 & -1 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & -4 & -3 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} & \longrightarrow & \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ -2 & -1 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & -4 & -3 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\\[1em] & \longrightarrow & \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 3 & 4 & 1 & 2 & 0 \\ 0 & -6 & -4 & 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}\\[1em] & \longrightarrow & \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 3 & 4 & 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & 2 & 3 & 1 \end{pmatrix}\\[1em] & \longrightarrow & \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & \dfrac{4}{3} & \dfrac{1}{3} & \dfrac{2}{3} & 0 \\ 0 & 0 & 4 & 2 & 3 & 1 \end{pmatrix}\\[1em] & \longrightarrow & \begin{pmatrix} 1 & 0 & -\dfrac{5}{3} & -\dfrac{2}{3} & -\dfrac{1}{3} & 0 \\ 0 & 1 & \dfrac{4}{3} & \dfrac{1}{3} & \dfrac{2}{3} & 0 \\ 0 & 0 & 4 & 2 & 3 & 1 \end{pmatrix}\\[1em] & \longrightarrow & \begin{pmatrix} 1 & 0 & -\dfrac{5}{3} & -\dfrac{2}{3} & -\dfrac{1}{3} & 0 \\ 0 & 1 & \dfrac{4}{3} & \dfrac{1}{3} & \dfrac{2}{3} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \dfrac{1}{2} & \dfrac{3}{4} & \dfrac{1}{4} \end{pmatrix}\\[1em] & \longrightarrow & \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & \dfrac{1}{6} & \dfrac{11}{12} & \dfrac{5}{12} \\ 0 & 1 & 0 & -\dfrac{1}{3} & -\dfrac{1}{3} & -\dfrac{1}{3} \\ 0 & 0 & 1 & \dfrac{1}{2} & \dfrac{3}{4} & \dfrac{1}{4} \end{pmatrix}\\[1em] \end{eqnarray*}$
よって
$A^{-1} = \dfrac{1}{12}\begin{pmatrix} 2 & 11 & 5 \\ -4 & -4 & -4 \\ 6 & 9 & 3 \end{pmatrix}$
である。
$A\overrightarrow{x} = \overrightarrow{b}$
の左から $A^{-1}$ を掛けると
$\begin{eqnarray*}\overrightarrow{x} & = & A^{-1}\overrightarrow{b}\\[1em] & = & \dfrac{1}{12}\begin{pmatrix} 2 & 11 & 5 \\ -4 & -4 & -4 \\ 6 & 9 & 3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 10 \\ -13 \\ 15 \end{pmatrix}\\[1em] & = & \dfrac{1}{12} \begin{pmatrix} -48 \\ -48 \\ -12 \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} -4 \\ -4 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$