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表示の変換1

各ベクトルが以下の関係にある時, $\overrightarrow{z}$ を $\overrightarrow{x}$ と $\overrightarrow{y}$ を用いて表したものとして最も適切なものを以下の選択肢から選びなさい。

$\overrightarrow{a} = 2\overrightarrow{x} + \overrightarrow{y},~~\overrightarrow{b} = \overrightarrow{x} - 2\overrightarrow{y},~~\overrightarrow{z} = 2\overrightarrow{a} + 3\overrightarrow{b}$

$\overrightarrow{z} = 7\overrightarrow{x} -4\overrightarrow{y}$
$\overrightarrow{z} = 7\overrightarrow{x} +8\overrightarrow{y}$
$\overrightarrow{z} = 5\overrightarrow{x} -4\overrightarrow{y}$
$\overrightarrow{z} = 5\overrightarrow{x} + 8\overrightarrow{y}$

代入して計算すると

$\begin{eqnarray*}\overrightarrow{z} & = & 2\overrightarrow{a} + 3\overrightarrow{b}\\[1em] & = & 2\left( 2\overrightarrow{x} + \overrightarrow{y}\right) + 3\left( \overrightarrow{x} - 2\overrightarrow{y}\right)\\[1em] & = & (4+3)\overrightarrow{x} + (2-6)\overrightarrow{y}\\[1em] & = & 7\overrightarrow{x} - 4\overrightarrow{y} \end{eqnarray*}$

$\overrightarrow{a} = \overrightarrow{x} + 3\overrightarrow{y},~~\overrightarrow{b} = 2\overrightarrow{x} - \overrightarrow{y},~~\overrightarrow{z} = -\overrightarrow{a} + 2\overrightarrow{b}$

$\overrightarrow{z} = 3\overrightarrow{x} - 5\overrightarrow{y}$
$\overrightarrow{z} = 3\overrightarrow{x} - \overrightarrow{y}$
$\overrightarrow{z} = 5\overrightarrow{x} - 5\overrightarrow{y}$
$\overrightarrow{z} = 5\overrightarrow{x} - \overrightarrow{y}$

代入して計算すると

$\begin{eqnarray*}\overrightarrow{z} & = & -\overrightarrow{a} + 2\overrightarrow{b}\\[1em] & = & -\left( \overrightarrow{x} + 3\overrightarrow{y} \right) + 2\left( 2\overrightarrow{x} - \overrightarrow{y} \right)\\[1em] & = & (-1+4)\overrightarrow{x} + (-3-2)\overrightarrow{y}\\[1em] & = & 3\overrightarrow{x} - 5\overrightarrow{y} \end{eqnarray*}$

$\overrightarrow{a} = -\overrightarrow{x} + 2\overrightarrow{y},~~\overrightarrow{b} = 3\overrightarrow{x} + 4\overrightarrow{y},~~\overrightarrow{z} = -2\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}$

$\overrightarrow{z} = 5\overrightarrow{x}$
$\overrightarrow{z} = \overrightarrow{x}$
$\overrightarrow{z} = 5\overrightarrow{x} +2\overrightarrow{y}$
$\overrightarrow{z} = \overrightarrow{x} +2\overrightarrow{y}$

代入して計算すると

$\begin{eqnarray*}\overrightarrow{z} & = & -2\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}\\[1em] & = & -2\left( -\overrightarrow{x} + 2\overrightarrow{y}\right) + \left( 3\overrightarrow{x} + 4\overrightarrow{y}\right)\\[1em] & = & (2+3)\overrightarrow{x} + (-4+4)\overrightarrow{y}\\[1em] & = & 5\overrightarrow{x} \end{eqnarray*}$

$\overrightarrow{a} = -\overrightarrow{x} -2 \overrightarrow{y},~~\overrightarrow{b} = 3\overrightarrow{x} - 2\overrightarrow{y},~~\overrightarrow{z} = -3\overrightarrow{a} + 2\overrightarrow{b}$

$\overrightarrow{z} = 9\overrightarrow{x} + 2\overrightarrow{y}$
$\overrightarrow{z} = 3\overrightarrow{x} + 2\overrightarrow{y}$
$\overrightarrow{z} = 9\overrightarrow{x} - \overrightarrow{y}$
$\overrightarrow{z} = 3\overrightarrow{x} - \overrightarrow{y}$

代入して計算すると

$\begin{eqnarray*}\overrightarrow{z} & = & -3\overrightarrow{a} + 2\overrightarrow{b}\\[1em] & = & -3\left( -\overrightarrow{x} -2 \overrightarrow{y} \right) + 2\left( 3\overrightarrow{x} - 2\overrightarrow{y} \right)\\[1em] & = & (3+6)\overrightarrow{x} + (6-4)\overrightarrow{y}\\[1em] & = & 9\overrightarrow{x} + 2\overrightarrow{y} \end{eqnarray*}$

$\overrightarrow{a} = 2\overrightarrow{x} - 2\overrightarrow{y},~~\overrightarrow{b} = -4\overrightarrow{x} + 3\overrightarrow{y},~~\overrightarrow{z} = 4\overrightarrow{a} + 3\overrightarrow{b}$

$\overrightarrow{z} = -4\overrightarrow{x} + \overrightarrow{y}$
$\overrightarrow{z} = -4\overrightarrow{x} - \overrightarrow{y}$
$\overrightarrow{z} = 4\overrightarrow{x} + \overrightarrow{y}$
$\overrightarrow{z} = 4\overrightarrow{x} - \overrightarrow{y}$

代入して計算すると

$\begin{eqnarray*}\overrightarrow{z} & = & 4\overrightarrow{a} + 3\overrightarrow{b}\\[1em] & = & 4\left( 2\overrightarrow{x} - 2\overrightarrow{y} \right) + 3\left( -4\overrightarrow{x} + 3\overrightarrow{y}\right)\\[1em] & = & (8-12)\overrightarrow{x} + (-8+9)\overrightarrow{y}\\[1em] & = & -4\overrightarrow{x} + \overrightarrow{y} \end{eqnarray*}$

線形結合3

$4$ つのベクトル $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{x}$, $\overrightarrow{y}$ が次を満たす時, $\overrightarrow{x}$, $\overrightarrow{y}$ を $\overrightarrow{a}$ と $\overrightarrow{b}$ を用いてそれぞれ表したものとして最も適切なものを以下の選択肢から選びなさい。

$\left\{ \begin{aligned} \overrightarrow{x} + \overrightarrow{y} &= \overrightarrow{a}\\ \overrightarrow{x} -\overrightarrow{y} &= \overrightarrow{b}\end{aligned} \right.$

$\left\{ \begin{aligned} \overrightarrow{x} &= \dfrac{1}{2}\left( \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} \right)\\ \overrightarrow{y} &= \dfrac{1}{2}\left( \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} \right) \end{aligned} \right.$
$\left\{ \begin{aligned} \overrightarrow{x} &= \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}\\ \overrightarrow{y} &= \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} \end{aligned} \right.$
$\left\{ \begin{aligned} \overrightarrow{x} &= -\dfrac{1}{2}\left( \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} \right)\\ \overrightarrow{y} &= -\dfrac{1}{2}\left( \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} \right) \end{aligned} \right.$
$\left\{ \begin{aligned} \overrightarrow{x} &= -\left( \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} \right)\\ \overrightarrow{y} &= -\left( \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} \right)\end{aligned} \right.$

$2$ つの式を足すと

$2\overrightarrow{x} = \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}$

となるので, 両辺を $2$ で割ると

$\overrightarrow{x} = \dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} \right)$

また, $2$ つの式を引くと

$2\overrightarrow{y} = \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}$

となるので, 両辺を $2$ で割ると

$\overrightarrow{y} = \dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} \right)$

$\left\{ \begin{aligned} \overrightarrow{x} + 2\overrightarrow{y} &= \overrightarrow{a}\\ \overrightarrow{x} -\overrightarrow{y} &= \overrightarrow{b}\end{aligned} \right.$

$\left\{ \begin{aligned} \overrightarrow{x} &= \dfrac{1}{3}\overrightarrow{a} + \dfrac{2}{3}\overrightarrow{b}\\ \overrightarrow{y} &= \dfrac{1}{3}\overrightarrow{a} - \dfrac{1}{3}\overrightarrow{b}\end{aligned} \right.$
$\left\{ \begin{aligned} \overrightarrow{x} &= \dfrac{1}{3}\overrightarrow{a} + \dfrac{2}{3}\overrightarrow{b}\\ \overrightarrow{y} &= \dfrac{1}{3}\overrightarrow{a} - \dfrac{2}{3}\overrightarrow{b}\end{aligned} \right.$
$\left\{ \begin{aligned} \overrightarrow{x} &= \dfrac{1}{3}\overrightarrow{a} + \dfrac{1}{3}\overrightarrow{b}\\ \overrightarrow{y} &= \dfrac{1}{3}\overrightarrow{a} - \dfrac{1}{3}\overrightarrow{b}\end{aligned} \right.$
$\left\{ \begin{aligned} \overrightarrow{x} &= \dfrac{1}{3}\overrightarrow{a} + \dfrac{1}{3}\overrightarrow{b}\\ \overrightarrow{y} &= \dfrac{1}{3}\overrightarrow{a} - \dfrac{2}{3}\overrightarrow{b}\end{aligned} \right.$

$1$ 番目の式に $2$ 番目の式の $2$ 倍を足すと

$3\overrightarrow{x} = \overrightarrow{a} + 2\overrightarrow{b}$

よって $\overrightarrow{x} = \dfrac{1}{3}\overrightarrow{a}+ \dfrac{2}{3}\overrightarrow{b}$

また, $1$ 番目の式から $2$ 番目の式を引くと

$3\overrightarrow{y} = \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}$

となるので $\overrightarrow{y} = \dfrac{1}{3} \overrightarrow{a} - \dfrac{1}{3}\overrightarrow{b}$ である。

$\left\{ \begin{aligned} \overrightarrow{x} + 3\overrightarrow{y} &= 2\overrightarrow{a}\\ 2\overrightarrow{x} + \overrightarrow{y} &= 4\overrightarrow{b}\end{aligned} \right.$

$\left\{ \begin{aligned} \overrightarrow{x} &= -\dfrac{2}{5}\overrightarrow{a} + \dfrac{12}{5}\overrightarrow{b} \\ \overrightarrow{y} &= \dfrac{4}{5}\overrightarrow{a} - \dfrac{4}{5}\overrightarrow{b}\end{aligned} \right.$
$\left\{ \begin{aligned} \overrightarrow{x} &= \dfrac{2}{5}\overrightarrow{a} - \dfrac{12}{5}\overrightarrow{b}\\ \overrightarrow{y} &= \dfrac{4}{5}\overrightarrow{a} - \dfrac{4}{5}\overrightarrow{b}\end{aligned} \right.$
$\left\{ \begin{aligned} \overrightarrow{x} &= \dfrac{2}{5}\overrightarrow{a} - \dfrac{12}{5}\overrightarrow{b} \\ \overrightarrow{y} &= -\dfrac{4}{5}\overrightarrow{a} + \dfrac{4}{5}\overrightarrow{b}\end{aligned} \right.$
$\left\{ \begin{aligned} \overrightarrow{x} &= -\dfrac{2}{5}\overrightarrow{a} + \dfrac{12}{5}\overrightarrow{b}\\ \overrightarrow{y} &= -\dfrac{4}{5}\overrightarrow{a} + \dfrac{4}{5}\overrightarrow{b}\end{aligned} \right.$

$1$ 番目の式から $2$ 番目の式の $3$ 倍を引くと

$-5\overrightarrow{x} = 2\overrightarrow{a} - 12\overrightarrow{b}$

両辺を $-5$ で割ると

$\overrightarrow{x} = -\dfrac{2}{5}\overrightarrow{a} + \dfrac{12}{5}\overrightarrow{b}$

また, $1$ 番目の式の $2$ 倍して $2$ 番目の式を引くと

$5\overrightarrow{y} = 4\overrightarrow{a} - 4\overrightarrow{b}$

となるので, 両辺を $5$ で割ると

$\overrightarrow{y} = \dfrac{4}{5}\overrightarrow{a} -\dfrac{4}{5} \overrightarrow{b}$

$\left\{ \begin{aligned} \overrightarrow{x} + 3\overrightarrow{y} &= 2\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}\\ 2\overrightarrow{x} -\overrightarrow{y} &= -\overrightarrow{a} + 4\overrightarrow{b}\end{aligned} \right.$

$\left\{ \begin{aligned} \overrightarrow{x} &= -\dfrac{1}{7}\overrightarrow{a} + \dfrac{13}{7}\overrightarrow{b}\\ \overrightarrow{y} &= \dfrac{5}{7}\overrightarrow{a} - \dfrac{2}{7}\overrightarrow{b}\end{aligned} \right.$
$\left\{ \begin{aligned} \overrightarrow{x} &= -\dfrac{5}{7}\overrightarrow{a} - \dfrac{11}{7}\overrightarrow{b}\\ \overrightarrow{y} &= \dfrac{5}{7}\overrightarrow{a} - \dfrac{2}{7}\overrightarrow{b}\end{aligned} \right.$
$\left\{ \begin{aligned} \overrightarrow{x} &= -\dfrac{5}{7}\overrightarrow{a} - \dfrac{11}{7}\overrightarrow{b}\\ \overrightarrow{y} &= \dfrac{3}{7}\overrightarrow{a} + \dfrac{6}{7}\overrightarrow{b}\end{aligned} \right.$
$\left\{ \begin{aligned} \overrightarrow{x} &= -\dfrac{1}{7}\overrightarrow{a} + \dfrac{13}{7}\overrightarrow{b}\\ \overrightarrow{y} &= \dfrac{3}{7}\overrightarrow{a} + \dfrac{6}{7}\overrightarrow{b}\end{aligned} \right.$

$1$ 番目の式に $2$ 番目の式の $3$ 倍を足すと

$7\overrightarrow{x} = -\overrightarrow{a} + 13\overrightarrow{b}$

よって $\overrightarrow{x} = -\dfrac{1}{7}\overrightarrow{a}+ \dfrac{13}{7}\overrightarrow{b}$

また, $1$ 番目の式を $2$ 倍してから $2$ 番目の式を引くと

$7\overrightarrow{y} = 5\overrightarrow{a} - 2\overrightarrow{b}$

となるので $\overrightarrow{y} = \dfrac{5}{7} \overrightarrow{a} - \dfrac{2}{7}\overrightarrow{b}$ である。

線形結合2

$3$ つのベクトル $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{x}$ が次を満たす時, $\overrightarrow{x}$ を $\overrightarrow{a}$ と $\overrightarrow{b}$ を用いて表したものとして最も適切なものを以下の選択肢から選びなさい。

$\overrightarrow{a} + 2\overrightarrow{b} + 3\overrightarrow{x} = -\left( \overrightarrow{a} -\overrightarrow{b} +2\overrightarrow{x}\right)$

$\overrightarrow{x} = -\dfrac{2}{5}\overrightarrow{a} - \dfrac{1}{5}\overrightarrow{b}$
$\overrightarrow{x} = -\dfrac{2}{5}\overrightarrow{a} - \dfrac{3}{5}\overrightarrow{b}$
$\overrightarrow{x} = -2\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}$
$\overrightarrow{x} = -2\overrightarrow{a} - 3\overrightarrow{b}$

$\overrightarrow{a} + 2\overrightarrow{b} + 3\overrightarrow{x} = - \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} -2\overrightarrow{x}$

であるから $\overrightarrow{x}$ を左辺に, それ以外を右辺に移項すると

$5\overrightarrow{x} = -2\overrightarrow{a} -\overrightarrow{b}$

両辺を $5$ で割れば

$\overrightarrow{x} = -\dfrac{2}{5}\overrightarrow{a} -\dfrac{1}{5}\overrightarrow{b}$

$-5\left( -9\overrightarrow{a} -5\overrightarrow{b} + 2\overrightarrow{x}\right) = 2\left( -2\overrightarrow{a} + 2\overrightarrow{b} + 2\overrightarrow{x}\right)$

$\overrightarrow{x} = \dfrac{7}{2}\overrightarrow{a} + \dfrac{3}{2}\overrightarrow{b}$
$\overrightarrow{x} = \dfrac{41}{14}\overrightarrow{a} + \dfrac{29}{14}\overrightarrow{b}$
$\overrightarrow{x} = -\dfrac{7}{2}\overrightarrow{a} - \dfrac{3}{2}\overrightarrow{b}$
$\overrightarrow{x} = -\dfrac{41}{14}\overrightarrow{a} - \dfrac{29}{14}\overrightarrow{b}$

$45\overrightarrow{a} + 25\overrightarrow{b} - 10\overrightarrow{x} = - 4\overrightarrow{a} + 4\overrightarrow{b} +4\overrightarrow{x}$

であるから $\overrightarrow{x}$ を左辺に, それ以外を右辺に移項すると

$-14\overrightarrow{x} = -49\overrightarrow{a} -21\overrightarrow{b}$

両辺を $-14$ で割れば

$\overrightarrow{x} = \dfrac{7}{2}\overrightarrow{a} + \dfrac{3}{2}\overrightarrow{b}$

$2\left( -3\overrightarrow{a} + 2\overrightarrow{b} + \overrightarrow{x} \right) = -3\left( \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + 2\overrightarrow{x}\right)$

$\overrightarrow{x} = \dfrac{3}{8}\overrightarrow{a} - \dfrac{7}{8}\overrightarrow{b}$
$\overrightarrow{x} = \dfrac{3}{4}\overrightarrow{a} - \dfrac{7}{4}\overrightarrow{b}$
$\overrightarrow{x} = \dfrac{9}{8}\overrightarrow{a} - \dfrac{1}{8}\overrightarrow{b}$
$\overrightarrow{x} = -\dfrac{9}{4}\overrightarrow{a} + \dfrac{1}{4}\overrightarrow{b}$

$-6\overrightarrow{a} + 4\overrightarrow{b} + 2\overrightarrow{x} = - 3\overrightarrow{a} - 3\overrightarrow{b} -6\overrightarrow{x}$

であるから $\overrightarrow{x}$ を左辺に, それ以外を右辺に移項すると

$8\overrightarrow{x} = 3\overrightarrow{a} -7\overrightarrow{b}$

両辺を $8$ で割れば

$\overrightarrow{x} = \dfrac{3}{8}\overrightarrow{a} -\dfrac{7}{8}\overrightarrow{b}$

$-4 \left(2\overrightarrow{a} - 3\overrightarrow{b} + \overrightarrow{x} \right)= 2\left( 2\overrightarrow{a} + 2\overrightarrow{b} +\overrightarrow{x}\right)$

$\overrightarrow{x} = -2\overrightarrow{a} + \dfrac{4}{3}\overrightarrow{b}$
$\overrightarrow{x} = \dfrac{2}{3}\overrightarrow{a} + \dfrac{4}{3}\overrightarrow{b}$
$\overrightarrow{x} = \dfrac{2}{3}\overrightarrow{a} + 4\overrightarrow{b}$
$\overrightarrow{x} = -2\overrightarrow{a} + 4\overrightarrow{b}$

$-8\overrightarrow{a} + 12\overrightarrow{b} - 4\overrightarrow{x} = 4\overrightarrow{a} + 4\overrightarrow{b} + 2\overrightarrow{x}$

であるから $\overrightarrow{x}$ を左辺に, それ以外を右辺に移項すると

$-6\overrightarrow{x} = 12\overrightarrow{a} -8\overrightarrow{b}$

両辺を $-6$ で割れば

$\overrightarrow{x} = -2 \overrightarrow{a} + \dfrac{4}{3}\overrightarrow{b}$

$3\left( -\overrightarrow{a} + 2\overrightarrow{b} + 4\overrightarrow{x} \right)= -6\left( -2\overrightarrow{a} -\overrightarrow{b} + 3\overrightarrow{x}\right)$

$\overrightarrow{x} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{a}$
$\overrightarrow{x} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{a} + \dfrac{2}{5}\overrightarrow{b}$
$\overrightarrow{x} = \dfrac{3}{10}\overrightarrow{a} + \dfrac{2}{5}\overrightarrow{b}$
$\overrightarrow{x} = \dfrac{3}{10}\overrightarrow{a}$

$-3\overrightarrow{a} + 6\overrightarrow{b} + 12\overrightarrow{x} = 12\overrightarrow{a} + 6\overrightarrow{b} - 18\overrightarrow{x}$

であるから $\overrightarrow{x}$ を左辺に, それ以外を右辺に移項すると

$30\overrightarrow{x} = 15\overrightarrow{a}$

両辺を $30$ で割れば

$\overrightarrow{x} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{a}$