$\overrightarrow{{\rm AF}} = \overrightarrow{{\rm BO}}$ であるから

$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{{\rm AB}} + \overrightarrow{{\rm AF}} & = & \overrightarrow{{\rm AB}} + \overrightarrow{{\rm BO}}\\ & = &  \overrightarrow{{\rm AO}}\end{eqnarray*}$

$\overrightarrow{{\rm AO}} = \overrightarrow{{\rm OD}}$ より, $\overrightarrow{{\rm AB}} + \overrightarrow{{\rm AF}}$ と等しいベクトルは $\overrightarrow{{\rm OD}}$ である。

$\overrightarrow{{\rm BO}} = \overrightarrow{{\rm CD}}$ であるから

$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{{\rm AC}} + \overrightarrow{{\rm BO}} & = & \overrightarrow{{\rm AC}} + \overrightarrow{{\rm CD}}\\ & = &  \overrightarrow{{\rm AD}}\end{eqnarray*}$

よって $\overrightarrow{{\rm AC}} + \overrightarrow{{\rm BO}} = \overrightarrow{{\rm AD}}$ である。

$\overrightarrow{{\rm DB}} = \overrightarrow{{\rm EA}}$ であるから

$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{{\rm AE}} + \overrightarrow{{\rm DB}} & = & \overrightarrow{{\rm AE}} + \overrightarrow{{\rm EA}}\\ & = &  \overrightarrow{{\rm AA}}\end{eqnarray*}$

よって $\overrightarrow{{\rm AE}} + \overrightarrow{{\rm DB}}$ は零ベクトルであるので $\overrightarrow{{\rm AE}} + \overrightarrow{{\rm DB}} = \overrightarrow{{\rm OO}}$ である。

一般に, 逆ベクトルとの和は零ベクトルになることに注意する。

$\overrightarrow{a} + (-\overrightarrow{a}) = (-\overrightarrow{a}) + \overrightarrow{a} = \overrightarrow{0}$

$\overrightarrow{{\rm FE}} = \overrightarrow{{\rm BC}}$ であるから

$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{{\rm FE}} + \overrightarrow{{\rm CO}} & = & \overrightarrow{{\rm BC}} + \overrightarrow{{\rm CO}}\\ & = &  \overrightarrow{{\rm BO}}\end{eqnarray*}$

$\overrightarrow{{\rm BO}} = \overrightarrow{{\rm AF}}$ より, $\overrightarrow{{\rm FE}} + \overrightarrow{{\rm CO}} = \overrightarrow{{\rm AF}}$ である。

$\overrightarrow{{\rm AE}} = \overrightarrow{{\rm BD}}$ であるから

$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{{\rm AE}} + \overrightarrow{{\rm DF}} & = & \overrightarrow{{\rm BD}} + \overrightarrow{{\rm DF}}\\ & = &  \overrightarrow{{\rm BF}}\end{eqnarray*}$

$\overrightarrow{{\rm BF}} = \overrightarrow{{\rm CE}}$ より, $\overrightarrow{{\rm AE}} + \overrightarrow{{\rm DF}} = \overrightarrow{{\rm CE}}$ である。

$\overrightarrow{{\rm OO}}$ は零ベクトルなので $\overrightarrow{{\rm OO}} = \overrightarrow{{\rm EE}}$ である。よって

$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{{\rm AE}} + \overrightarrow{{\rm OO}} & = & \overrightarrow{{\rm AE}} + \overrightarrow{{\rm EE}}\\ & = & \overrightarrow{{\rm AE}} \end{eqnarray*}$

となる。

一般に零ベクトルを加えても元のベクトルは変化しないことに注意する。

$\overrightarrow{a} + \overrightarrow{0} = \overrightarrow{0} + \overrightarrow{a} = \overrightarrow{a}$