ベクトルの計算1
1
$2$ つのベクトル $\overrightarrow{a} = (2,1)$, $\overrightarrow{b} = (2,3)$ に対し, $\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}$ を計算したものとして最も適切なものを以下の選択肢から選びなさい。
$(4,4)$
$(4,3)$
$(5,4)$
$(4,5)$
$2$ つのベクトルの和の各成分は, 各成分の和になるので
$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} & = & (2,1) + (2,3) \\ & = & (2+2, 1+3) \\ & = & (4,4) \end{eqnarray*}$
よって $\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = (4,4)$ である。
2
$2$ つのベクトル $\overrightarrow{a} = (-3,2)$, $\overrightarrow{b} = (5,-5)$ に対し, $\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}$ を計算したものとして最も適切なものを以下の選択肢から選びなさい。
$(2,-3)$
$(2,3)$
$(2,7)$
$(-2,-3)$
$2$ つのベクトルの和の各成分は, 各成分の和になるので
$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} & = & (-3,2) + (5,-5) \\ & = & (-3+5, 2-5) \\ & = & (2,-3) \end{eqnarray*}$
よって $\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = (2,-3)$ である。
3
$2$ つのベクトル $\overrightarrow{a} = (4,5)$, $\overrightarrow{b} = (1,2)$ に対し, $\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}$ を計算したものとして最も適切なものを以下の選択肢から選びなさい。
$(3,3)$
$(5,7)$
$(-1,-1)$
$(2,4)$
$2$ つのベクトルの和の各成分は, 各成分の和になるので
$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} & = & (4,5) - (1,2) \\ & = & (4-1, 5-2) \\ & = & (3,3) \end{eqnarray*}$
よって $\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} = (3,3)$ である。
4
$2$ つのベクトル $\overrightarrow{a} = (2,-1)$, $\overrightarrow{b} = (-3,4)$ に対し, $\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}$ を計算したものとして最も適切なものを以下の選択肢から選びなさい。
$(5,-5)$
$(-1,-5)$
$(5,3)$
$(-1,3)$
$2$ つのベクトルの和の各成分は, 各成分の和になるので
$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} & = & (2,-1) - (-3,4) \\ & = & (2 + 3, -1-4) \\ & = & (5,-5) \end{eqnarray*}$
よって $\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} = (5,-5)$ である。
5
$2$ つのベクトル $\overrightarrow{a} = (1,-3)$ に対し, $3\overrightarrow{a}$ を計算したものとして最も適切なものを以下の選択肢から選びなさい。
$(3,-9)$
$(3,-3)$
$(3,-6)$
$(3,0)$
ベクトルの定数倍は各成分を定数倍すればよいので
$\begin{eqnarray*} 3\overrightarrow{a} & = & 3(1,-3) \\ & = & (3\times 1, 3\times(-3)) \\ & = & (3,-9) \end{eqnarray*}$
よって $3\overrightarrow{a} = (3,-9)$ である。
6
$2$ つのベクトル $\overrightarrow{a} = (2,2)$ に対し, $0\overrightarrow{a}$ を計算したものとして最も適切なものを以下の選択肢から選びなさい。
$(0,0)$
$(2,0)$
$(0,2)$
$(2,2)$
ベクトルの定数倍は各成分を定数倍すればよいので
$\begin{eqnarray*} 0\overrightarrow{a} & = & 0(2,2) \\ & = & (0\times 2, 0\times 2) \\ & = & (0,0) \end{eqnarray*}$
よって $0 \overrightarrow{a} = (0,0)$ である。
ベクトルの相等
1
$3$ 点 ${\rm A}(1,1)$, ${\rm B}(2,3)$, ${\rm C}(4,5)$ に対し, 点 ${\rm D}$ が $\overrightarrow{{\rm AB}} = \overrightarrow{{\rm CD}}$ を満たす時, 点 ${\rm D}$ の座標として最も適切なものを以下の選択肢から選びなさい。
$(5,7)$
$(3,3)$
$(7,9)$
$(-3,-3)$
点 ${\rm D}$ の座標を $(x,y)$ とすると
$\overrightarrow{{\rm AB}} = (2-1,3-1) = (1,2)$
かつ
$\overrightarrow{{\rm CD}} = (x-4,y-5)$
であるから $\overrightarrow{{\rm AB}} = \overrightarrow{{\rm CD}}$ の時
$\left\{ \begin{aligned}x-4 &= 1 \\ y-5 &= 2 \end{aligned} \right.$
$x = 5$ かつ $y = 7$ より点 ${\rm D}$ の座標は $(5,7)$ である。
2
$3$ 点 ${\rm A}(2,1)$, ${\rm B}(4,4)$, ${\rm C}(0,3)$ に対し, 点 ${\rm D}$ が $\overrightarrow{{\rm AB}} = \overrightarrow{{\rm CD}}$ を満たす時, 点 ${\rm D}$ の座標として最も適切なものを以下の選択肢から選びなさい。
$(2,6)$
$(6,8)$
$(2,0)$
$(6,6)$
点 ${\rm D}$ の座標を $(x,y)$ とすると
$\overrightarrow{{\rm AB}} = (4-2,4-1) = (2,3)$
かつ
$\overrightarrow{{\rm CD}} = (x-0,y-3)$
であるから $\overrightarrow{{\rm AB}} = \overrightarrow{{\rm CD}}$ の時
$\left\{ \begin{aligned}x &= 2 \\ y-3 &= 3 \end{aligned} \right.$
$x = 2$ かつ $y = 6$ より点 ${\rm D}$ の座標は $(2,6)$ である。
3
$3$ 点 ${\rm A}(-3,2)$, ${\rm B}(2,-1)$, ${\rm C}(5,1)$ に対し, 点 ${\rm D}$ が $\overrightarrow{{\rm AB}} = \overrightarrow{{\rm CD}}$ を満たす時, 点 ${\rm D}$ の座標として最も適切なものを以下の選択肢から選びなさい。
$(10,-2)$
$(4,-2)$
$(10,4)$
$(4,4)$
点 ${\rm D}$ の座標を $(x,y)$ とすると
$\overrightarrow{{\rm AB}} = (2-(-3),-1-2) = (5,-3)$
かつ
$\overrightarrow{{\rm CD}} = (x-5,y-1)$
であるから $\overrightarrow{{\rm AB}} = \overrightarrow{{\rm CD}}$ の時
$\left\{ \begin{aligned}x-5 &= 5 \\ y-1 &= -3 \end{aligned} \right.$
$x = 10$ かつ $y = -2$ より点 ${\rm D}$ の座標は $(10,-2)$ である。
4
$3$ 点 ${\rm A}(-2,-1)$, ${\rm B}(-4,-5)$, ${\rm D}(-4,-3)$ に対し, 点 ${\rm C}$ が $\overrightarrow{{\rm AB}} = \overrightarrow{{\rm CD}}$ を満たす時, 点 ${\rm C}$ の座標として最も適切なものを以下の選択肢から選びなさい。
$(-2,1)$
$(2,1)$
$(2,-1)$
$(-2,-1)$
点 ${\rm C}$ の座標を $(x,y)$ とすると
$\overrightarrow{{\rm AB}} = (-4-(-2),-5-(-1)) = (-2,-4)$
かつ
$\overrightarrow{{\rm CD}} = (-4-x,-3-y)$
であるから $\overrightarrow{{\rm AB}} = \overrightarrow{{\rm CD}}$ の時
$\left\{ \begin{aligned}-4-x &= -2 \\ -3-y &= -4 \end{aligned} \right.$
$x = -2$ かつ $y = 1$ より点 ${\rm C}$ の座標は $(-2,1)$ である。
5
$3$ 点 ${\rm A}(4,-3)$, ${\rm B}(5,0)$, ${\rm D}(2,5)$ に対し, 点 ${\rm C}$ が $\overrightarrow{{\rm AB}} = \overrightarrow{{\rm CD}}$ を満たす時, 点 ${\rm C}$ の座標として最も適切なものを以下の選択肢から選びなさい。
$(1,2)$
$(3,8)$
$(-1,-2)$
$(-3,-8)$
点 ${\rm C}$ の座標を $(x,y)$ とすると
$\overrightarrow{{\rm AB}} = (5-4,0-(-3)) = (1,3)$
かつ
$\overrightarrow{{\rm CD}} = (2-x,5-y)$
であるから $\overrightarrow{{\rm AB}} = \overrightarrow{{\rm CD}}$ の時
$\left\{ \begin{aligned}2-x &= 1 \\ 5-y &= 3 \end{aligned} \right.$
$x = 1$ かつ $y = 2$ より点 ${\rm C}$ の座標は $(1,2)$ である。
6
$3$ 点 ${\rm A}(-1,4)$, ${\rm B}(1,2)$, ${\rm D}(-1,-5)$ に対し, 点 ${\rm C}$ が $\overrightarrow{{\rm AB}} = \overrightarrow{{\rm CD}}$ を満たす時, 点 ${\rm C}$ の座標として最も適切なものを以下の選択肢から選びなさい。
$(-3,-3)$
$(1,3)$
$(-3,3)$
$(1,-3)$
点 ${\rm C}$ の座標を $(x,y)$ とすると
$\overrightarrow{{\rm AB}} = (1-(-1),2-4) = (2,-2)$
かつ
$\overrightarrow{{\rm CD}} = (-1-x,-5-y)$
であるから $\overrightarrow{{\rm AB}} = \overrightarrow{{\rm CD}}$ の時
$\left\{ \begin{aligned}-1-x &= 2 \\ -5-y &= -2 \end{aligned} \right.$
$x = -3$ かつ $y = -3$ より点 ${\rm C}$ の座標は $(-3,-3)$ である。
ベクトルの成分
1
$xy$ 平面上のベクトル $\overrightarrow{a} = (2,1)$ の $x$ 成分の値として最も適切なものを以下の選択肢から選びなさい。
$2$
$1$
$xy$ 平面上のベクトルを $\overrightarrow{a}$ を成分表示 $\overrightarrow{a} = (a_1,a_2)$ で表した時, $a_1$ を $\overrightarrow{a}$ の $x$ 成分, $a_2$ を $\overrightarrow{a}$ の $y$ 成分という。
2
$xy$ 平面上のベクトル $\overrightarrow{a} = (1,4)$ の $x$ 成分の値として最も適切なものを以下の選択肢から選びなさい。
$1$
$4$
$xy$ 平面上のベクトルを $\overrightarrow{a}$ を成分表示 $\overrightarrow{a} = (a_1,a_2)$ で表した時, $a_1$ を $\overrightarrow{a}$ の $x$ 成分, $a_2$ を $\overrightarrow{a}$ の $y$ 成分という。
3
$xy$ 平面上のベクトル $\overrightarrow{a} = (3,2)$ の $x$ 成分の値として最も適切なものを以下の選択肢から選びなさい。
$3$
$2$
$xy$ 平面上のベクトルを $\overrightarrow{a}$ を成分表示 $\overrightarrow{a} = (a_1,a_2)$ で表した時, $a_1$ を $\overrightarrow{a}$ の $x$ 成分, $a_2$ を $\overrightarrow{a}$ の $y$ 成分という。
4
$xy$ 平面上のベクトル $\overrightarrow{a} = (5,3)$ の $y$ 成分の値として最も適切なものを以下の選択肢から選びなさい。
$3$
$5$
$xy$ 平面上のベクトルを $\overrightarrow{a}$ を成分表示 $\overrightarrow{a} = (a_1,a_2)$ で表した時, $a_1$ を $\overrightarrow{a}$ の $x$ 成分, $a_2$ を $\overrightarrow{a}$ の $y$ 成分という。
5
$xy$ 平面上のベクトル $\overrightarrow{a} = (-3,-2)$ の $y$ 成分の値として最も適切なものを以下の選択肢から選びなさい。
$-2$
$-3$
$xy$ 平面上のベクトルを $\overrightarrow{a}$ を成分表示 $\overrightarrow{a} = (a_1,a_2)$ で表した時, $a_1$ を $\overrightarrow{a}$ の $x$ 成分, $a_2$ を $\overrightarrow{a}$ の $y$ 成分という。