$\overrightarrow{0}$ でない $2$ つのベクトル $\overrightarrow{a}$ と $\overrightarrow{b}$ が平行であるための必要十分条件は

$\overrightarrow{a} = k\overrightarrow{b}$

となる実数 $k$ が存在することである。

$(2,1) = k(t,3) = (tk,3k)$

とすると $y$ 成分を比べれば $3k = 1$ より $k = \dfrac{1}{3}$ である。

代入し $x$ 成分を比べれば, $\dfrac{1}{3}t = 2$ より $t = 6$ となる。

$\overrightarrow{0}$ でない $2$ つのベクトル $\overrightarrow{a}$ と $\overrightarrow{b}$ が平行であるための必要十分条件は

$\overrightarrow{a} = k\overrightarrow{b}$

となる実数 $k$ が存在することである。

$(2,3) = k(t,6) = (tk,6k)$

とすると $y$ 成分を比べれば $6k = 3$ より $k = \dfrac{1}{2}$ である。

代入し $x$ 成分を比べれば, $\dfrac{1}{2}t = 2$ より $t = 4$ となる。

$\overrightarrow{0}$ でない $2$ つのベクトル $\overrightarrow{a}$ と $\overrightarrow{b}$ が平行であるための必要十分条件は

$\overrightarrow{a} = k\overrightarrow{b}$

となる実数 $k$ が存在することである。

$(6,4) = k(t,2) = (tk,2k)$

とすると $y$ 成分を比べれば $2k = 4$ より $k = 2$ である。

代入し $x$ 成分を比べれば, $2t = 6$ より $t = 3$ となる。

$\overrightarrow{0}$ でない $2$ つのベクトル $\overrightarrow{a}$ と $\overrightarrow{b}$ が平行であるための必要十分条件は

$\overrightarrow{a} = k\overrightarrow{b}$

となる実数 $k$ が存在することである。

$\left(\dfrac{1}{2}~,\dfrac{1}{3}\right) = k(3,t) = (3k,tk)$

とすると $x$ 成分を比べれば $3k = \dfrac{1}{2}$ より $k = \dfrac{1}{6}$ である。

代入し $y$ 成分を比べれば, $\dfrac{1}{6}t =\dfrac{1}{3}$ より $t = 2$ となる。

$\overrightarrow{0}$ でない $2$ つのベクトル $\overrightarrow{a}$ と $\overrightarrow{b}$ が平行であるための必要十分条件は

$\overrightarrow{a} = k\overrightarrow{b}$

となる実数 $k$ が存在することである。

$\left(\dfrac{1}{2}~,\dfrac{1}{4} \right) = k\left(\dfrac{2}{3}~,t\right) = \left(\dfrac{2}{3}k~,tk\right)$

とすると $x$ 成分を比べれば $\dfrac{2}{3}k = \dfrac{1}{2}$ より $k = \dfrac{3}{4}$ である。

代入し $y$ 成分を比べれば, $\dfrac{3}{4}t = \dfrac{1}{4}$ より $t = \dfrac{1}{3}$ となる。

$\overrightarrow{0}$ でない $2$ つのベクトル $\overrightarrow{a}$ と $\overrightarrow{b}$ が平行であるための必要十分条件は

$\overrightarrow{a} = k\overrightarrow{b}$

となる実数 $k$ が存在することである。$\overrightarrow{b} = k\overrightarrow{a}$ とすると

$\left( t-6,3t-5 \right) = k(1,4) = (k,4k)$

各成分を比べると

$\left\{ \begin{aligned} t-6 &= k \\ 3t - 5 &= 4k \end{aligned} \right.$

$1$ 番目の式を $4$ 倍したものから $2$ 番目の式を引くと

$t -19=0$

よって $t = 19$ である。

$\overrightarrow{0}$ でない $2$ つのベクトル $\overrightarrow{a}$ と $\overrightarrow{b}$ が平行であるための必要十分条件は

$\overrightarrow{a} = k\overrightarrow{b}$

となる実数 $k$ が存在することである。$\overrightarrow{b} = k\overrightarrow{a}$ とすると

$\left( -7t+2,4t+7 \right) = k(6,-6) = (6k,-6k)$

各成分を比べると

$\left\{ \begin{aligned} -7t+2 &= 6k \\ 4t + 7 &= -6k \end{aligned} \right.$

$1$ 番目の式に $2$ 番目の式を加えると

$-3t + 9=0$

よって $t = 3$ である。

$\overrightarrow{0}$ でない $2$ つのベクトル $\overrightarrow{a}$ と $\overrightarrow{b}$ が平行であるための必要十分条件は

$\overrightarrow{a} = k\overrightarrow{b}$

となる実数 $k$ が存在することである。$\overrightarrow{b} = k\overrightarrow{a}$ とすると

$\left( -t+7,8t-8 \right) = k(4,-8) = (4k,-8k)$

各成分を比べると

$\left\{ \begin{aligned} -t+7 &= 4k \\ 8t - 8 &=  -8k \end{aligned} \right.$

$1$ 番目の式を $2$ 倍したものに $2$ 番目の式を加えると

$6t +6=0$

よって $t = -1$ である。

$\overrightarrow{0}$ でない $2$ つのベクトル $\overrightarrow{a}$ と $\overrightarrow{b}$ が平行であるための必要十分条件は

$\overrightarrow{a} = k\overrightarrow{b}$

となる実数 $k$ が存在することである。$\overrightarrow{b} = k\overrightarrow{a}$ とすると

$\left( 3t+4,-7t-5 \right) = k(2,4) = (2k,4k)$

各成分を比べると

$\left\{ \begin{aligned} 3t+4 &= 2k \\ -7t - 5 &= 4k \end{aligned} \right.$

$1$ 番目の式を $2$ 倍したものから $2$ 番目の式を引くと

$13t +13=0$

よって $t = -1$ である。