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次のベクトル $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$ に対し, $\overrightarrow{b}$ の $\overrightarrow{a}$ 上への正射影ベクトル $\overrightarrow{p}$ として適切なものを以下の選択肢から選びなさい。

$\overrightarrow{a}=(3,2),~\overrightarrow{b} = (-2,2)$

$\left( -\dfrac{6}{13},-\dfrac{4}{13} \right)$

$\left( \dfrac{6}{13},\dfrac{4}{13} \right)$

$\left( \dfrac{4}{13},-\dfrac{4}{13} \right)$

$\left( -\dfrac{3}{13},-\dfrac{2}{13} \right)$

$2$ つのベクトル $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$ のなす角を $\theta$ とした時, $\overrightarrow{a}$ と同じ向きで大きさが $|\overrightarrow{b}|\cos \theta$ であるようなベクトルを $\overrightarrow{b}$ の $\overrightarrow{a}$ 上への正射影ベクトル $\overrightarrow{p}$ という。

正射影ベクトルの定義から, $\overrightarrow{p}$ は

$\overrightarrow{p} = \dfrac{|\overrightarrow{b}|\cos \theta }{|\overrightarrow{a}|} \overrightarrow{a} = \dfrac{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\cos \theta }{|\overrightarrow{a}|^2} = \dfrac{ \overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b} }{|\overrightarrow{a}|^2 }\overrightarrow{a}$

と表せる。

$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b} = -2$

また

$|\overrightarrow{a}|^2 = 13$

より

$\overrightarrow{p} = \dfrac{ -2 }{13}\overrightarrow{a} =-\dfrac{2}{13}\overrightarrow{a} = \left( -\dfrac{6}{13},-\dfrac{4}{13} \right)$

となる。