次のベクトル $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$ に対し, $\overrightarrow{b}$ の $\overrightarrow{a}$ 上への正射影ベクトル $\overrightarrow{p}$ として適切なものを以下の選択肢から選びなさい。
$\overrightarrow{a}=(1,1),~\overrightarrow{b} = (1,3)$
$(2,2)$
$(1,1)$
$(2\sqrt{2},2\sqrt{2})$
$\left( \dfrac{3}{2}, \dfrac{3}{2}\right)$
$2$ つのベクトル $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$ のなす角を $\theta$ とした時, $\overrightarrow{a}$ と同じ向きで大きさが $|\overrightarrow{b}|\cos \theta$ であるようなベクトルを $\overrightarrow{b}$ の $\overrightarrow{a}$ 上への正射影ベクトル $\overrightarrow{p}$ という。
正射影ベクトルの定義から, $\overrightarrow{p}$ は
$\overrightarrow{p} = \dfrac{|\overrightarrow{b}|\cos \theta }{|\overrightarrow{a}|} \overrightarrow{a} = \dfrac{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\cos \theta }{|\overrightarrow{a}|^2} = \dfrac{ \overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b} }{|\overrightarrow{a}|^2 }\overrightarrow{a}$
と表せる。
$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b} = 4$
また
$|\overrightarrow{a}|^2 = 2$
より
$\overrightarrow{p} = \dfrac{ 4 }{2}\overrightarrow{a} =2\overrightarrow{a} = (2,2)$
となる。