空間ベクトルの大きさ（成分表示）2 03

空間ベクトルの大きさ（成分表示）2

$2$ つのベクトル $\overrightarrow{a} = (-7,-1,-4)$, $\overrightarrow{b} = (-3,-4,-4)$ に対し $\overrightarrow{a} + t\overrightarrow{b}$ の大きさが最小になる時の実数 $t$ の値として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。

$-1$

$1$

$-2$

$5$

$\overrightarrow{a} + t\overrightarrow{b} =(-7-3t,-1-4t,-4-4t)$

より

$ $\begin{eqnarray*}|\overrightarrow{a} + t\overrightarrow{b}|^2 & = & (-7-3t)^2 + (-1-4t)^2 + (-4-4t)^2\\[1em] & = & 41t^2 + 82t + 66\\[1em] & = & 41(t+1)^2 + 25\end{eqnarray*}$ $

よって $t=-1$ の時 $|\overrightarrow{a} + t\overrightarrow{b}|$ は最小値 $\sqrt{25} = 5$ を取る。