空間ベクトルの大きさ（成分表示）2 01

空間ベクトルの大きさ（成分表示）2

$2$ つのベクトル $\overrightarrow{a} = (-2,4,-4)$, $\overrightarrow{b} = (2,4,3)$ に対し $\overrightarrow{a} + t\overrightarrow{b}$ の大きさが最小になる時の実数 $t$ の値として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。

$0$

$\dfrac{32}{29}$

$-\dfrac{32}{29}$

$-\dfrac{64}{29}$

$\overrightarrow{a} + t\overrightarrow{b} =(-2+2t,4+4t,-4+3t)$

より

$ $\begin{eqnarray*}|\overrightarrow{a} + t\overrightarrow{b}|^2 & = & (-2+2t)^2 + (4+4t)^2 + (-4+3t)^2\\[1em] & = & 29t^2 + 36\end{eqnarray*}$ $

よって $t=0$ の時 $|\overrightarrow{a} + t\overrightarrow{b}|$ は最小値 $\sqrt{36} = 6$ を取る。