空間ベクトルの大きさ（成分表示）2 02

空間ベクトルの大きさ（成分表示）2

$2$ つのベクトル $\overrightarrow{a} = (-3,3,-3)$, $\overrightarrow{b} = (1,-4,1)$ に対し $\overrightarrow{a} + t\overrightarrow{b}$ の大きさが最小になる時の実数 $t$ の値として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。

$1$

$0$

$2$

$3$

$\overrightarrow{a} + t\overrightarrow{b} =(-3+t,3-4t,-3+t)$

より

$ $\begin{eqnarray*}|\overrightarrow{a} + t\overrightarrow{b}|^2 & = & (-3+t)^2 + (3-4t)^2 + (-3+t)^2\\[1em] & = & 18t^2 - 36t + 27\\[1em] & = & 18(t -1)^2 +9\end{eqnarray*}$ $

よって $t=1$ の時 $|\overrightarrow{a} + t\overrightarrow{b}|$ は最小値 $\sqrt{9} = 3$ を取る。