$A^2 = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 9 \end{pmatrix}$

$A^3 = \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 9 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 & 0 \\ 0 & 27 \end{pmatrix}$

$A^4 = \begin{pmatrix} 8 & 0 \\ 0 & 27 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 16 & 0 \\ 0 & 81 \end{pmatrix}$

より

$A^n = \begin{pmatrix} 2^n & 0 \\ 0 & 3^n \end{pmatrix}$

であると予想できる。これを数学的帰納法で証明する。

$n=1$ の時

$A = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$

より主張が成り立つ。

$n=k$ の時, 主張が成り立つと仮定すると

$A^k = \begin{pmatrix} 2^k & 0 \\ 0 & 3^k \end{pmatrix}$

が成り立つ。すると

$\begin{eqnarray*} A^{k+1} & = & A^kA\\[1em] & = & \begin{pmatrix} 2^k & 0 \\ 0 & 3^k \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} 2^{k+1} & 0 \\ 0 & 3^{k+1} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

より $n=k+1$ の時も主張が成り立つ。

以上から

$A^n = \begin{pmatrix} 2^n & 0 \\ 0 & 3^n \end{pmatrix}$

が成り立つので, $A^n$ の $(2,2)$ 成分は $3^n$ である。