$\left\{ \begin{aligned} x &= 2s + t \\ y &= s - t \end{aligned} \right.$
かつ
$\left\{ \begin{aligned} s &= u + v \\ t &= u - v \end{aligned} \right.$
である時, $x$, $y$ を $u$ と $v$ を用いて表したものとして正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$\left\{ \begin{aligned} x &= 3u + v \\ y &= 2v \end{aligned} \right.$
$\left\{ \begin{aligned} x &= u + v \\ y &= u - 2v \end{aligned} \right.$
$\left\{ \begin{aligned} x &= 3u \\ y &= u + 2v \end{aligned} \right.$
$\left\{ \begin{aligned} x &= -2v \\ y &= 3u - v \end{aligned} \right.$
行列を用いて表すと
$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} s \\ t \end{pmatrix}$
また
$\begin{pmatrix} s \\ t \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} u \\ v \end{pmatrix}$
となる。よって
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} & = & \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} s \\ t \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} u \\ v \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} u \\ v \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} 3u + v \\ 2v \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
以上より,
$\left\{ \begin{aligned} x &= 3u + v \\ y &= 2v \end{aligned} \right.$
である。