$1$ 行目から $3$ 行目の $2$ 倍を引くと

$\begin{pmatrix} 7 & 8 & 9 \\ 0 & 1 & 2 \\ 3 & 5 & 4 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \longrightarrow \begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 3 & 5 & 4 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

さらに行基本変形をすると

$\begin{eqnarray*}\begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 3 & 5 & 4 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} & \longrightarrow & \begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 11 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\\[1em] & \longrightarrow & \begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & -21 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\\[1em] & \longrightarrow & \begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \\[1em]& \longrightarrow & \begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$0$ でない成分を含む行が $3$ つあるので, ${\rm rank}~A = 3$ である。