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次の行列 $A$ の階数が $2$ である時, $a$ の値として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$A = \begin{pmatrix} 1 & -4 & 4 \\ 1 & -1 & a \\ 2 & -3 & a \end{pmatrix}$
$-2$
$3$
$10$
$0$
基本変形により
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & -4 & 4 \\ 1 & -1 & a \\ 2 & -3 & a \end{pmatrix} & \longrightarrow & \begin{pmatrix} 1 & -4 & 4 \\ 0 & 3 & a-4 \\ 0 & 5 & a-8 \end{pmatrix}\\[1em] & \longrightarrow & \begin{pmatrix} 1 & -4 & 4 \\ 0 & 1 & \dfrac{a-4}{3} \\ 0 & 5 & a-8 \end{pmatrix}\\[1em] & \longrightarrow & \begin{pmatrix} 1 & -4 & 4 \\ 0 & 1 & \dfrac{a-4}{3} \\ 0 & 0 & -\dfrac{2}{3}(a+2) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
階数が $2$ である時
$-\dfrac{2}{3}(a+2)=0$
よって $a=-2$ である。