行列 $A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}$ の行列式の値が $-3$ である時, $3A$ の行列式の値として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$-81$
$81$
$-9$
$9$
$3A = \begin{pmatrix} 3a_{11} & 3a_{12} & 3a_{13}\\ 3a_{21} & 3a_{22} & 3a_{23}\\ 3a_{31} & 3a_{32} & 3a_{33} \end{pmatrix}$
であるから
$\begin{eqnarray*} |3A| & = & \begin{vmatrix} 3a_{11} & 3a_{12} & 3a_{13}\\ 3a_{21} & 3a_{22} & 3a_{23}\\ 3a_{31} & 3a_{32} & 3a_{33} \end{vmatrix} \\[1em] & = & 3\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ 3a_{21} & 3a_{22} & 3a_{23}\\ 3a_{31} & 3a_{32} & 3a_{33} \end{vmatrix} \\[1em] & = & 9\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ 3a_{31} & 3a_{32} & 3a_{33} \end{vmatrix} \\[1em] & = & 27\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}\\[1em] & = & 27|A| \\[1em] & = & 27\cdot (-3) = -81 \end{eqnarray*}$
よって $|3A| = -81$ である。
一般に, $A$ が $n$ 次正方行列である時, 定数 $c$ に対し
$|cA| = c^n |A|$
であることに注意する。