行列 $A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}$ の行列式の値が $2$ である時, $2A$ の行列式の値として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$16$
$4$
$2$
$8$
$2A = \begin{pmatrix} 2a_{11} & 2a_{12} & 2a_{13}\\ 2a_{21} & 2a_{22} & 2a_{23}\\ 2a_{31} & 2a_{32} & 2a_{33} \end{pmatrix}$
であるから
$\begin{eqnarray*} |2A| & = & \begin{vmatrix} 2a_{11} & 2a_{12} & 2a_{13}\\ 2a_{21} & 2a_{22} & 2a_{23}\\ 2a_{31} & 2a_{32} & 2a_{33} \end{vmatrix} \\[1em] & = & 2\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ 2a_{21} & 2a_{22} & 2a_{23}\\ 2a_{31} & 2a_{32} & 2a_{33} \end{vmatrix} \\[1em] & = & 4\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ 2a_{31} & 2a_{32} & 2a_{33} \end{vmatrix} \\[1em] & = & 8\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}\\[1em] & = & 8|A| \\[1em] & = & 8\cdot 2 = 16 \end{eqnarray*}$
よって $|2A| = 16$ である。
一般に, $A$ が $n$ 次正方行列である時, 定数 $c$ に対し
$|cA| = c^n |A|$
であることに注意する。