与えられた線形変換による, 点 $(3 + 4t , 4 -2t )$ の像を $(x',y')$ とすると

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} & = & \begin{pmatrix} -4 & 5 \\ -1 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 + 4t \\ 4 - 2t \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} 8 - 26t \\ 13 - 12t \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

よって

$\left\{ \begin{aligned} x' &= 8-26t \\ y' &= 13 - 12t \end{aligned} \right.$

が成り立つ。この式から $t$ を消去すると

$12x' - 26y' = -242$

両辺を $2$ で割り整理すれば, 像の方程式は $6x - 13y + 121 = 0$ である。

与えられた線形変換による, 点 $(5 - 2t , -4 -2t )$ の像を $(x',y')$ とすると

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} & = & \begin{pmatrix} -1 & 4 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 5 - 2t \\ -4 - 2t \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} -21 - 6t \\ -4 - 2t \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

よって

$\left\{ \begin{aligned} x' &= -21 - 6t \\ y' &= -4 - 2t \end{aligned} \right.$

が成り立つ。この式から $t$ を消去すると

$x' - 3y' = -9$

よって像の方程式は $x - 3y + 9 = 0$ である。

与えられた線形変換による, 点 $(-3 - 4t , 2 + 3t )$ の像を $(x',y')$ とすると

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} & = & \begin{pmatrix} 0 & 5 \\ 4 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -3 - 4t \\ 2 + 3t \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} 10 + 15t \\ -18 - 25t \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

よって

$\left\{ \begin{aligned} x' &= 10 + 15t \\ y' &= -18 - 25t \end{aligned} \right.$

が成り立つ。この式から $t$ を消去すると

$5x' + 3y' = - 4$

よって像の方程式は $5x + 3y + 4 = 0$ である。

与えられた線形変換による, 点 $(3 - 2t , 5 + 2t )$ の像を $(x',y')$ とすると

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} & = & \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 4 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 - 2t \\ 5 + 2t \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} 7 + 6t \\ 12 - 8t \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

よって

$\left\{ \begin{aligned} x' &= 7 + 6t \\ y' &= 12 - 8t \end{aligned} \right.$

が成り立つ。この式から $t$ を消去すると

$4x' + 3y' = 64$

両辺を $2$ で割り整理すれば, 像の方程式は $4x + 3y - 64 = 0$ である。

与えられた線形変換による, 点 $(3 + 4t , 4 + 5t )$ の像を $(x',y')$ とすると

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} & = & \begin{pmatrix} -1 & 4 \\ 1 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 + 4t \\ 4 + 5t \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} 13 + 16t \\ 19 + 24t \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

よって

$\left\{ \begin{aligned} x' &= 13 + 16t \\ y' &= 19 + 24t \end{aligned} \right.$

が成り立つ。この式から $t$ を消去すると

$3x' - 2y' = 1$

両辺を $2$ で割り整理すれば, 像の方程式は $3x - 2y - 1 = 0$ である。