$y = 3x -3$ より直線上の点は $(x, 3x -3)$ と表せるので, この点の線形変換による像 $(x',y')$ は

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} & = & \begin{pmatrix} 3 & -4 \\ -1 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ 3x - 3 \end{pmatrix}\\[1em] & = &  \begin{pmatrix} -9x + 12 \\ -4x + 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

よって

$\left\{ \begin{aligned} x' &= -9x + 12 \\ y' &= -4x + 3 \end{aligned} \right.$

この式から $x$ を消去すると

$4x' - 9y' = 21$

よって像の方程式は $4x - 9y - 21 = 0$ である。