変換 $f$ が線形変換である時, 実数 $k$, $l$ とベクトル $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$ に対し

$f(k \overrightarrow{a} + l \overrightarrow{b}) = kf(\overrightarrow{a}) + lf(\overrightarrow{b})$

が成り立つので

$\begin{eqnarray*} f(5\overrightarrow{a} + 2\overrightarrow{b}) & = & 5 f(\overrightarrow{a}) + 2 f(\overrightarrow{b}) \\[1em] & = & 5\begin{pmatrix} -2 \\ 2\end{pmatrix} + 2\begin{pmatrix} -2 \\ 3 \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} -10 -4 \\ 10 +6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -14 \\ 16 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

よって $f(5\overrightarrow{a} + 2\overrightarrow{b}) = \begin{pmatrix} -14 \\ 16 \end{pmatrix}$ である。

変換 $f$ が線形変換である時, 実数 $k$, $l$ とベクトル $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$ に対し

$f(k \overrightarrow{a} + l \overrightarrow{b}) = kf(\overrightarrow{a}) + lf(\overrightarrow{b})$

が成り立つので

$\begin{eqnarray*} f(-4\overrightarrow{a} + 2\overrightarrow{b}) & = & -4 f(\overrightarrow{a}) + 2 f(\overrightarrow{b}) \\[1em] & = & -4\begin{pmatrix} -3 \\ 4\end{pmatrix} + 2\begin{pmatrix} -4 \\ 2 \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} 12 - 8 \\ -16 +4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ -12 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

よって $f(-4\overrightarrow{a} + 2\overrightarrow{b}) = \begin{pmatrix} 4 \\ -12 \end{pmatrix}$ である。

変換 $f$ が線形変換である時, 実数 $k$, $l$ とベクトル $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$ に対し

$f(k \overrightarrow{a} + l \overrightarrow{b}) = kf(\overrightarrow{a}) + lf(\overrightarrow{b})$

が成り立つので

$\begin{eqnarray*} f(3\overrightarrow{a} - 3\overrightarrow{b}) & = & 3 f(\overrightarrow{a}) - 3 f(\overrightarrow{b}) \\[1em] & = & 3\begin{pmatrix} 2 \\ 2\end{pmatrix} - 3\begin{pmatrix} -2 \\ 3 \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} 6 - (-6) \\ 6 - 9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 12 \\ -3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

よって $f(3\overrightarrow{a} - 3\overrightarrow{b}) = \begin{pmatrix} 12 \\ -3 \end{pmatrix}$ である。

変換 $f$ が線形変換である時, 実数 $k$, $l$ とベクトル $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$ に対し

$f(k \overrightarrow{a} + l \overrightarrow{b}) = kf(\overrightarrow{a}) + lf(\overrightarrow{b})$

が成り立つので

$\begin{eqnarray*} f(-2\overrightarrow{a} + 3\overrightarrow{b}) & = & -2 f(\overrightarrow{a}) + 3 f(\overrightarrow{b}) \\[1em] & = & -2\begin{pmatrix} -4 \\ 5 \end{pmatrix} + 3\begin{pmatrix} 5 \\ -3 \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} 8 + 15 \\ -10 - 9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 23 \\ -19 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

よって $f(-2\overrightarrow{a} + 3\overrightarrow{b}) = \begin{pmatrix} 23 \\ -19 \end{pmatrix}$ である。

変換 $f$ が線形変換である時, 実数 $k$, $l$ とベクトル $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$ に対し

$f(k \overrightarrow{a} + l \overrightarrow{b}) = kf(\overrightarrow{a}) + lf(\overrightarrow{b})$

が成り立つので

$\begin{eqnarray*} f(2\overrightarrow{a} + 3\overrightarrow{b}) & = & 2 f(\overrightarrow{a}) + 3 f(\overrightarrow{b}) \\[1em] & = & 2\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix} + 3\begin{pmatrix} 2 \\ 5 \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} 6 + 6 \\ 8 + 15 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 12 \\ 23 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

よって $f(2\overrightarrow{a} + 3\overrightarrow{b}) = \begin{pmatrix} 12 \\ 23 \end{pmatrix}$ である。