$y = 5x + 5$ より直線上の点は $(x, 5x + 5)$ と表せるので, この点の線形変換による像 $(x',y')$ は

$ $$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} & = & \begin{pmatrix} 4 & -3 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ 5x + 5 \end{pmatrix}\\[1em] & = &  \begin{pmatrix} -11x - 15 \\ 4x + 5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$$ $

よって

$\left\{ $$\begin{aligned} x' &= -11x - 15 \\ y' &= 4x + 5 \end{aligned}$$ \right.$

この式から $x$ を消去すると

$4x' + 11y' = -5$

よって像の方程式は $4x + 11y + 5 = 0$ である。