媒介変数表示された直線
$\left\{ \begin{aligned} x &= 3 + 4t \\ y &= 4 -2t \end{aligned} \right.$
の、行列 $\begin{pmatrix} -4 & 5 \\ -1 & 4 \end{pmatrix}$ で表される線形変換による像の方程式として最も適切なものを以下の選択肢から選びなさい。
$6x - 13y + 121 = 0$
$6x - 13y + 144 = 0$
$12x - 26y + 243 = 0$
$12x - 26y + 237 = 0$
与えられた線形変換による, 点 $(3 + 4t , 4 -2t )$ の像を $(x',y')$ とすると
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} & = & \begin{pmatrix} -4 & 5 \\ -1 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 + 4t \\ 4 - 2t \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} 8 - 26t \\ 13 - 12t \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
よって
$\left\{ \begin{aligned} x' &= 8-26t \\ y' &= 13 - 12t \end{aligned} \right.$
が成り立つ。この式から $t$ を消去すると
$12x' - 26y' = -242$
両辺を $2$ で割り整理すれば, 像の方程式は $6x - 13y + 121 = 0$ である。
媒介変数表示された直線
$\left\{ \begin{aligned} x &= 5 - 2t \\ y &= -4 -2t \end{aligned} \right.$
の、行列 $\begin{pmatrix} -1 & 4 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ で表される線形変換による像の方程式として最も適切なものを以下の選択肢から選びなさい。
$x - 3y + 9 = 0$
$3x + y + 67 = 0$
$3x - y + 59 = 0$
$x + 3y + 33 = 0$
与えられた線形変換による, 点 $(5 - 2t , -4 -2t )$ の像を $(x',y')$ とすると
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} & = & \begin{pmatrix} -1 & 4 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 5 - 2t \\ -4 - 2t \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} -21 - 6t \\ -4 - 2t \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
よって
$\left\{ \begin{aligned} x' &= -21 - 6t \\ y' &= -4 - 2t \end{aligned} \right.$
が成り立つ。この式から $t$ を消去すると
$x' - 3y' = -9$
よって像の方程式は $x - 3y + 9 = 0$ である。
媒介変数表示された直線
$\left\{ \begin{aligned} x &= -3 - 4t \\ y &= 2 + 3t \end{aligned} \right.$
の、行列 $\begin{pmatrix} 0 & 5 \\ 4 & -3 \end{pmatrix}$ で表される線形変換による像の方程式として最も適切なものを以下の選択肢から選びなさい。
$5x + 3y + 4 = 0$
$3x + 5y + 4 = 0$
$5x + 4y + 3 = 0$
$3x + 4y + 5 = 0$
与えられた線形変換による, 点 $(-3 - 4t , 2 + 3t )$ の像を $(x',y')$ とすると
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} & = & \begin{pmatrix} 0 & 5 \\ 4 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -3 - 4t \\ 2 + 3t \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} 10 + 15t \\ -18 - 25t \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
よって
$\left\{ \begin{aligned} x' &= 10 + 15t \\ y' &= -18 - 25t \end{aligned} \right.$
が成り立つ。この式から $t$ を消去すると
$5x' + 3y' = - 4$
よって像の方程式は $5x + 3y + 4 = 0$ である。
媒介変数表示された直線
$\left\{ \begin{aligned} x &= 3 - 2t \\ y &= 5 + 2t \end{aligned} \right.$
の、行列 $\begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 4 & 0 \end{pmatrix}$ で表される線形変換による像の方程式として最も適切なものを以下の選択肢から選びなさい。
$4x + 3y - 64 = 0$
$4x - 3y - 64 = 0$
$4x + 3y +8 = 0$
$4x - 3y +8 = 0$
与えられた線形変換による, 点 $(3 - 2t , 5 + 2t )$ の像を $(x',y')$ とすると
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} & = & \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 4 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 - 2t \\ 5 + 2t \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} 7 + 6t \\ 12 - 8t \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
よって
$\left\{ \begin{aligned} x' &= 7 + 6t \\ y' &= 12 - 8t \end{aligned} \right.$
が成り立つ。この式から $t$ を消去すると
$4x' + 3y' = 64$
両辺を $2$ で割り整理すれば, 像の方程式は $4x + 3y - 64 = 0$ である。
媒介変数表示された直線
$\left\{ \begin{aligned} x &= 3 + 4t \\ y &= 4 + 5t \end{aligned} \right.$
の、行列 $\begin{pmatrix} -1 & 4 \\ 1 & 4 \end{pmatrix}$ で表される線形変換による像の方程式として最も適切なものを以下の選択肢から選びなさい。
$3x - 2y - 1 = 0$
$2x - 3y - 1 = 0$
$3x + 2y + 1 = 0$
$2x + 3y + 1 = 0$
与えられた線形変換による, 点 $(3 + 4t , 4 + 5t )$ の像を $(x',y')$ とすると
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} & = & \begin{pmatrix} -1 & 4 \\ 1 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 + 4t \\ 4 + 5t \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} 13 + 16t \\ 19 + 24t \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
よって
$\left\{ \begin{aligned} x' &= 13 + 16t \\ y' &= 19 + 24t \end{aligned} \right.$
が成り立つ。この式から $t$ を消去すると
$3x' - 2y' = 1$
両辺を $2$ で割り整理すれば, 像の方程式は $3x - 2y - 1 = 0$ である。