$y = -3x + 2$ より直線上の点は $(x, -3x + 2)$ と表せるので, この点の線形変換による像 $(x',y')$ は

$ $$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} & = & \begin{pmatrix} -3 & 4 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ -3x + 2 \end{pmatrix}\\[1em] & = &  \begin{pmatrix} -15x + 8 \\ - 3x + 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$$ $

よって

$\left\{ $$\begin{aligned} x' &= -15x + 8 \\ y' &= -3x + 4 \end{aligned}$$ \right.$

この式から $x$ を消去すると

$x' - 5y' = -12$

よって像の方程式は $x - 5y + 12 = 0$ である。