$y = -3x -4$ より直線上の点は $(x, -3x -4)$ と表せるので, この点の線形変換による像 $(x',y')$ は

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} & = & \begin{pmatrix} 1 & -3 \\ 2 & 5 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ -3x - 4 \end{pmatrix}\\[1em] & = &  \begin{pmatrix} 10x + 12 \\ -13x - 20 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

よって

$\left\{ \begin{aligned} x' &= 10x + 12 \\ y' &= -13x -20 \end{aligned} \right.$

この式から $x$ を消去すると

$13x' + 10y' = -44$

よって像の方程式は $13x + 10y + 44 = 0$ である。