次の $2$ つの線形変換 $f$, $g$ に対し, それらの合成変換 $g \circ f$ として最も適切なものを以下の選択肢から選びなさい。
$f: (x,y) \mapsto (-9x - 8y, x + y)$
$g: (x,y) \mapsto (x - 2y, -x + 3y)$
$g \circ f: (x,y) \mapsto (-11x - 10y , 12x + 11y)$
$g \circ f: (x,y) \mapsto (-x - 6y , y)$
$g \circ f: (x,y) \mapsto (-x - 33y , 3x -5y)$
$g \circ f: (x,y) \mapsto (-8x - 10y , 12x + 2y)$
$f$ の表現行列を $A$ とすると
$A = \begin{pmatrix} -9 & -8 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$
であり, また $g$ の表現行列を $B$ とすると
$B = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}$
である。$g \circ f$ の表現行列は $BA$ であるから
$\begin{eqnarray*} BA & = & \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -9 & -8 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} -11 & -10 \\ 12 & 11 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
よって
$g \circ f: (x,y) \mapsto (-11x - 10y , 12x + 11y)$
である。