次の $2$ つの線形変換 $f$, $g$ に対し, それらの合成変換 $g \circ f$ として最も適切なものを以下の選択肢から選びなさい。
$f: (x,y) \mapsto (x + 10y, x + 9y)$
$g: (x,y) \mapsto (2x + y, -x )$
$g \circ f: (x,y) \mapsto (3x + 29y , -x - 10y)$
$g \circ f: (x,y) \mapsto (2x + 10y , -x + 9y)$
$g \circ f: (x,y) \mapsto (-8x + y , -7x + y)$
$g \circ f: (x,y) \mapsto (-8x + 18y , x + 18y)$
$f$ の表現行列を $A$ とすると
$A = \begin{pmatrix} 1 & 10 \\ 1 & 9 \end{pmatrix}$
であり, また $g$ の表現行列を $B$ とすると
$B = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$
である。$g \circ f$ の表現行列は $BA$ であるから
$\begin{eqnarray*} BA & = & \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 10 \\ 1 & 9 \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} 3 & 29 \\ -1 & -10 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
よって
$g \circ f: (x,y) \mapsto (3x + 29y , -x - 10y)$
である。