次の $2$ つの線形変換 $f$, $g$ に対し, それらの合成変換 $g \circ f$ として最も適切なものを以下の選択肢から選びなさい。
$f: (x,y) \mapsto (x - 3y, -x + 4y)$
$g: (x,y) \mapsto (3x + 7y, 4x + 9y)$
$g \circ f: (x,y) \mapsto (-4x + 19y , -5x + 24y)$
$g \circ f: (x,y) \mapsto (-9x - 20y , 13x + 29y)$
$g \circ f: (x,y) \mapsto (3x - 21y , -4x + 36y)$
$g \circ f: (x,y) \mapsto (-3x + 28y , 4x - 27y)$
$f$ の表現行列を $A$ とすると
$A = \begin{pmatrix} 1 & -3 \\ -1 & 4 \end{pmatrix}$
であり, また $g$ の表現行列を $B$ とすると
$B = \begin{pmatrix} 3 & 7 \\ 4 & 9 \end{pmatrix}$
である。$g \circ f$ の表現行列は $BA$ であるから
$\begin{eqnarray*} BA & = & \begin{pmatrix} 3 & 7 \\ 4 & 9 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -3 \\ -1 & 4 \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} -4 & 19 \\ -5 & 24 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
よって
$g \circ f: (x,y) \mapsto (-4x + 19y , -5x + 24y)$
である。