ベクトルと平面幾何
1
$\triangle{\rm ABC}$ において、辺 ${\rm AB}$ を $1:1$ に内分する点を ${\rm P}$、辺 ${\rm AC}$ を $1:2$ に内分する点を ${\rm Q}$ とする。
また、線分 ${\rm BQ}$ と ${\rm CP}$ の交点を ${\rm K}$ とし、直線 ${\rm AK}$ と直線 ${\rm BC}$ との交点を ${\rm R}$ とする。
このとき $\overrightarrow{{\rm AR}}$ を $\overrightarrow{{\rm AB}}$ と $\overrightarrow{{\rm AC}}$ で表したものとして正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$\dfrac{2}{3}\overrightarrow{{\rm AB}} + \dfrac{1}{3}\overrightarrow{{\rm AC}}$
$\dfrac{1}{3}\overrightarrow{{\rm AB}} + \dfrac{2}{3}\overrightarrow{{\rm AC}}$
$\dfrac{2}{5}\overrightarrow{{\rm AB}} + \dfrac{3}{5}\overrightarrow{{\rm AC}}$
$\dfrac{3}{5}\overrightarrow{{\rm AB}} + \dfrac{2}{5}\overrightarrow{{\rm AC}}$
$\overrightarrow{{\rm AP}} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{{\rm AB}}$ より
$\begin{eqnarray*}\overrightarrow{{\rm AK}} & = & \overrightarrow{{\rm AP}} + \overrightarrow{{\rm PK}}\\[1em] & = & \overrightarrow{{\rm AP}} + t\overrightarrow{{\rm PC}}\\[1em] & = & \overrightarrow{{\rm AP}} + t\left( \overrightarrow{{\rm AC}} - \overrightarrow{{\rm AP}} \right)\\[1em] & = & (1-t)\overrightarrow{{\rm AP}} + t\overrightarrow{{\rm AC}} = \dfrac{1-t}{2}\overrightarrow{{\rm AB}} + t\overrightarrow{{\rm AC}}\end{eqnarray*}$
同様に, $\overrightarrow{{\rm AQ}} = \dfrac{1}{3}\overrightarrow{{\rm AC}}$ より
$\begin{eqnarray*}\overrightarrow{{\rm AK}} & = & \overrightarrow{{\rm AQ}} + \overrightarrow{{\rm QK}}\\[1em] & = & \overrightarrow{{\rm AQ}} + s\overrightarrow{{\rm QB}}\\[1em] & = & \overrightarrow{{\rm AQ}} + s\left( \overrightarrow{{\rm AB}} - \overrightarrow{{\rm AQ}} \right)\\[1em] & = & (1- s)\overrightarrow{{\rm AQ}} + s\overrightarrow{{\rm AB}} = s\overrightarrow{{\rm AB}} + \dfrac{1-s}{3} \overrightarrow{{\rm AC}}\end{eqnarray*}$
よって
$\dfrac{1-t}{2}\overrightarrow{{\rm AB}} + t\overrightarrow{{\rm AC}} = s\overrightarrow{{\rm AB}} + \dfrac{1-s}{3} \overrightarrow{{\rm AC}}$
ここで, $\overrightarrow{{\rm AB}}$ と $\overrightarrow{{\rm AC}}$ は線形独立であるから
$\dfrac{1-t}{2} = s$ かつ $t = \dfrac{1-s}{3}$
これを解くと $s = \dfrac{2}{5}$, $t = \dfrac{1}{5}$ となるので
$\overrightarrow{{\rm AK}} = \dfrac{2}{5}\overrightarrow{{\rm AB}} + \dfrac{1}{5}\overrightarrow{{\rm AC}}$
$\overrightarrow{{\rm AR}} = r\overrightarrow{{\rm AK}} = \dfrac{2r}{5}\overrightarrow{{\rm AB}} + \dfrac{r}{5}\overrightarrow{{\rm AC}}$
であり, ${\rm R}$ は線分 ${\rm BC}$ 上にあることから
$\dfrac{2r}{5} + \dfrac{r}{5} = 1$
よって $r=\dfrac{5}{3}$ であり, $\overrightarrow{{\rm AR}} = \dfrac{2}{3}\overrightarrow{{\rm AB}} + \dfrac{1}{3}\overrightarrow{{\rm AC}}$ である。
2
$\triangle{\rm ABC}$ において、辺 ${\rm AB}$ を $1:1$ に内分する点を ${\rm P}$、辺 ${\rm AC}$ を $1:3$ に内分する点を ${\rm Q}$ とする。
また、線分 ${\rm BQ}$ と ${\rm CP}$ の交点を ${\rm K}$ とし、直線 ${\rm AK}$ と直線 ${\rm BC}$ との交点を ${\rm R}$ とする。
このとき $\overrightarrow{{\rm AR}}$ を $\overrightarrow{{\rm AB}}$ と $\overrightarrow{{\rm AC}}$ で表したものとして正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$\dfrac{3}{4}\overrightarrow{{\rm AB}} + \dfrac{1}{4}\overrightarrow{{\rm AC}}$
$\dfrac{1}{4}\overrightarrow{{\rm AB}} + \dfrac{3}{4}\overrightarrow{{\rm AC}}$
$\dfrac{3}{7}\overrightarrow{{\rm AB}} + \dfrac{4}{7}\overrightarrow{{\rm AC}}$
$\dfrac{4}{7}\overrightarrow{{\rm AB}} + \dfrac{3}{7}\overrightarrow{{\rm AC}}$
$\overrightarrow{{\rm AP}} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{{\rm AB}}$ より
$\begin{eqnarray*}\overrightarrow{{\rm AK}} & = & \overrightarrow{{\rm AP}} + \overrightarrow{{\rm PK}}\\[1em] & = & \overrightarrow{{\rm AP}} + t\overrightarrow{{\rm PC}}\\[1em] & = & \overrightarrow{{\rm AP}} + t\left( \overrightarrow{{\rm AC}} - \overrightarrow{{\rm AP}} \right)\\[1em] & = & (1-t)\overrightarrow{{\rm AP}} + t\overrightarrow{{\rm AC}} = \dfrac{1-t}{2}\overrightarrow{{\rm AB}} + t\overrightarrow{{\rm AC}}\end{eqnarray*}$
同様に, $\overrightarrow{{\rm AQ}} = \dfrac{1}{4}\overrightarrow{{\rm AC}}$ より
$\begin{eqnarray*}\overrightarrow{{\rm AK}} & = & \overrightarrow{{\rm AQ}} + \overrightarrow{{\rm QK}}\\[1em] & = & \overrightarrow{{\rm AQ}} + s\overrightarrow{{\rm QB}}\\[1em] & = & \overrightarrow{{\rm AQ}} + s\left( \overrightarrow{{\rm AB}} - \overrightarrow{{\rm AQ}} \right)\\[1em] & = & (1- s)\overrightarrow{{\rm AQ}} + s\overrightarrow{{\rm AB}} = s\overrightarrow{{\rm AB}} + \dfrac{1-s}{4} \overrightarrow{{\rm AC}}\end{eqnarray*}$
よって
$\dfrac{1-t}{2}\overrightarrow{{\rm AB}} + t\overrightarrow{{\rm AC}} = s\overrightarrow{{\rm AB}} + \dfrac{1-s}{4} \overrightarrow{{\rm AC}}$
ここで, $\overrightarrow{{\rm AB}}$ と $\overrightarrow{{\rm AC}}$ は線形独立であるから
$\dfrac{1-t}{2} = s$ かつ $t = \dfrac{1-s}{4}$
これを解くと $s = \dfrac{3}{7}$, $t = \dfrac{1}{7}$ となるので
$\overrightarrow{{\rm AK}} = \dfrac{3}{7}\overrightarrow{{\rm AB}} + \dfrac{1}{7}\overrightarrow{{\rm AC}}$
$\overrightarrow{{\rm AR}} = r\overrightarrow{{\rm AK}} = \dfrac{3r}{7}\overrightarrow{{\rm AB}} + \dfrac{r}{7}\overrightarrow{{\rm AC}}$
であり, ${\rm R}$ は線分 ${\rm BC}$ 上にあることから
$\dfrac{3r}{7} + \dfrac{r}{7} = 1$
よって $r=\dfrac{7}{4}$ であり, $\overrightarrow{{\rm AR}} = \dfrac{3}{4}\overrightarrow{{\rm AB}} + \dfrac{1}{4}\overrightarrow{{\rm AC}}$ である。
3
$\triangle{\rm ABC}$ において、辺 ${\rm AB}$ を $1:1$ に内分する点を ${\rm P}$、辺 ${\rm AC}$ を $2:1$ に内分する点を ${\rm Q}$ とする。
また、線分 ${\rm BQ}$ と ${\rm CP}$ の交点を ${\rm K}$ とし、直線 ${\rm AK}$ と直線 ${\rm BC}$ との交点を ${\rm R}$ とする。
このとき $\overrightarrow{{\rm AR}}$ を $\overrightarrow{{\rm AB}}$ と $\overrightarrow{{\rm AC}}$ で表したものとして正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$\dfrac{1}{3}\overrightarrow{{\rm AB}} + \dfrac{2}{3}\overrightarrow{{\rm AC}}$
$\dfrac{2}{3}\overrightarrow{{\rm AB}} + \dfrac{1}{3}\overrightarrow{{\rm AC}}$
$\dfrac{1}{4}\overrightarrow{{\rm AB}} + \dfrac{3}{4}\overrightarrow{{\rm AC}}$
$\dfrac{3}{4}\overrightarrow{{\rm AB}} + \dfrac{1}{4}\overrightarrow{{\rm AC}}$
$\overrightarrow{{\rm AP}} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{{\rm AB}}$ より
$\begin{eqnarray*}\overrightarrow{{\rm AK}} & = & \overrightarrow{{\rm AP}} + \overrightarrow{{\rm PK}}\\[1em] & = & \overrightarrow{{\rm AP}} + t\overrightarrow{{\rm PC}}\\[1em] & = & \overrightarrow{{\rm AP}} + t\left( \overrightarrow{{\rm AC}} - \overrightarrow{{\rm AP}} \right)\\[1em] & = & (1-t)\overrightarrow{{\rm AP}} + t\overrightarrow{{\rm AC}} = \dfrac{1-t}{2}\overrightarrow{{\rm AB}} + t\overrightarrow{{\rm AC}}\end{eqnarray*}$
同様に, $\overrightarrow{{\rm AQ}} = \dfrac{2}{3}\overrightarrow{{\rm AC}}$ より
$\begin{eqnarray*}\overrightarrow{{\rm AK}} & = & \overrightarrow{{\rm AQ}} + \overrightarrow{{\rm QK}}\\[1em] & = & \overrightarrow{{\rm AQ}} + s\overrightarrow{{\rm QB}}\\[1em] & = & \overrightarrow{{\rm AQ}} + s\left( \overrightarrow{{\rm AB}} - \overrightarrow{{\rm AQ}} \right)\\[1em] & = & (1- s)\overrightarrow{{\rm AQ}} + s\overrightarrow{{\rm AB}} = s\overrightarrow{{\rm AB}} + \dfrac{2(1-s)}{3} \overrightarrow{{\rm AC}}\end{eqnarray*}$
よって
$\dfrac{1-t}{2}\overrightarrow{{\rm AB}} + t\overrightarrow{{\rm AC}} = s\overrightarrow{{\rm AB}} + \dfrac{2(1-s)}{3} \overrightarrow{{\rm AC}}$
ここで, $\overrightarrow{{\rm AB}}$ と $\overrightarrow{{\rm AC}}$ は線形独立であるから
$\dfrac{1-t}{2} = s$ かつ $t = \dfrac{2(1-s)}{3}$
これを解くと $s = \dfrac{1}{4}$, $t = \dfrac{1}{2}$ となるので
$\overrightarrow{{\rm AK}} = \dfrac{1}{4}\overrightarrow{{\rm AB}} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow{{\rm AC}}$
$\overrightarrow{{\rm AR}} = r\overrightarrow{{\rm AK}} = \dfrac{r}{4}\overrightarrow{{\rm AB}} + \dfrac{r}{2}\overrightarrow{{\rm AC}}$
であり, ${\rm R}$ は線分 ${\rm BC}$ 上にあることから
$\dfrac{r}{4} + \dfrac{r}{2} = 1$
よって $r=\dfrac{4}{3}$ であり, $\overrightarrow{{\rm AR}} = \dfrac{1}{3}\overrightarrow{{\rm AB}} + \dfrac{2}{3}\overrightarrow{{\rm AC}}$ である。
4
$\triangle{\rm ABC}$ において、辺 ${\rm AB}$ を $1:1$ に内分する点を ${\rm P}$、辺 ${\rm AC}$ を $2:3$ に内分する点を ${\rm Q}$ とする。
また、線分 ${\rm BQ}$ と ${\rm CP}$ の交点を ${\rm K}$ とし、直線 ${\rm AK}$ と直線 ${\rm BC}$ との交点を ${\rm R}$ とする。
このとき $\overrightarrow{{\rm AR}}$ を $\overrightarrow{{\rm AB}}$ と $\overrightarrow{{\rm AC}}$ で表したものとして正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$\dfrac{3}{5}\overrightarrow{{\rm AB}} + \dfrac{2}{5}\overrightarrow{{\rm AC}}$
$\dfrac{2}{5}\overrightarrow{{\rm AB}} + \dfrac{3}{5}\overrightarrow{{\rm AC}}$
$\dfrac{3}{8}\overrightarrow{{\rm AB}} + \dfrac{5}{8}\overrightarrow{{\rm AC}}$
$\dfrac{5}{8}\overrightarrow{{\rm AB}} + \dfrac{3}{8}\overrightarrow{{\rm AC}}$
$\overrightarrow{{\rm AP}} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{{\rm AB}}$ より
$\begin{eqnarray*}\overrightarrow{{\rm AK}} & = & \overrightarrow{{\rm AP}} + \overrightarrow{{\rm PK}}\\[1em] & = & \overrightarrow{{\rm AP}} + t\overrightarrow{{\rm PC}}\\[1em] & = & \overrightarrow{{\rm AP}} + t\left( \overrightarrow{{\rm AC}} - \overrightarrow{{\rm AP}} \right)\\[1em] & = & (1-t)\overrightarrow{{\rm AP}} + t\overrightarrow{{\rm AC}} = \dfrac{1-t}{2}\overrightarrow{{\rm AB}} + t\overrightarrow{{\rm AC}}\end{eqnarray*}$
同様に, $\overrightarrow{{\rm AQ}} = \dfrac{2}{5}\overrightarrow{{\rm AC}}$ より
$\begin{eqnarray*}\overrightarrow{{\rm AK}} & = & \overrightarrow{{\rm AQ}} + \overrightarrow{{\rm QK}}\\[1em] & = & \overrightarrow{{\rm AQ}} + s\overrightarrow{{\rm QB}}\\[1em] & = & \overrightarrow{{\rm AQ}} + s\left( \overrightarrow{{\rm AB}} - \overrightarrow{{\rm AQ}} \right)\\[1em] & = & (1- s)\overrightarrow{{\rm AQ}} + s\overrightarrow{{\rm AB}} = s\overrightarrow{{\rm AB}} + \dfrac{2(1-s)}{5} \overrightarrow{{\rm AC}}\end{eqnarray*}$
よって
$\dfrac{1-t}{2}\overrightarrow{{\rm AB}} + t\overrightarrow{{\rm AC}} = s\overrightarrow{{\rm AB}} + \dfrac{2(1-s)}{5} \overrightarrow{{\rm AC}}$
ここで, $\overrightarrow{{\rm AB}}$ と $\overrightarrow{{\rm AC}}$ は線形独立であるから
$\dfrac{1-t}{2} = s$ かつ $t = \dfrac{2(1-s)}{5}$
これを解くと $s = \dfrac{3}{8}$, $t = \dfrac{1}{4}$ となるので
$\overrightarrow{{\rm AK}} = \dfrac{3}{8}\overrightarrow{{\rm AB}} + \dfrac{1}{4}\overrightarrow{{\rm AC}}$
$\overrightarrow{{\rm AR}} = r\overrightarrow{{\rm AK}} = \dfrac{3r}{8}\overrightarrow{{\rm AB}} + \dfrac{r}{4}\overrightarrow{{\rm AC}}$
であり, ${\rm R}$ は線分 ${\rm BC}$ 上にあることから
$\dfrac{3r}{8} + \dfrac{r}{4} = 1$
よって $r=\dfrac{8}{5}$ であり, $\overrightarrow{{\rm AR}} = \dfrac{3}{5}\overrightarrow{{\rm AB}} + \dfrac{2}{5}\overrightarrow{{\rm AC}}$ である。
5
$\triangle{\rm ABC}$ において、辺 ${\rm AB}$ を $2:1$ に内分する点を ${\rm P}$、辺 ${\rm AC}$ を $1:1$ に内分する点を ${\rm Q}$ とする。
また、線分 ${\rm BQ}$ と ${\rm CP}$ の交点を ${\rm K}$ とし、直線 ${\rm AK}$ と直線 ${\rm BC}$ との交点を ${\rm R}$ とする。
このとき $\overrightarrow{{\rm AR}}$ を $\overrightarrow{{\rm AB}}$ と $\overrightarrow{{\rm AC}}$ で表したものとして正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$\dfrac{2}{3}\overrightarrow{{\rm AB}} + \dfrac{1}{3}\overrightarrow{{\rm AC}}$
$\dfrac{1}{3}\overrightarrow{{\rm AB}} + \dfrac{2}{3}\overrightarrow{{\rm AC}}$
$\dfrac{3}{4}\overrightarrow{{\rm AB}} + \dfrac{1}{4}\overrightarrow{{\rm AC}}$
$\dfrac{1}{4}\overrightarrow{{\rm AB}} + \dfrac{3}{4}\overrightarrow{{\rm AC}}$
$\overrightarrow{{\rm AP}} = \dfrac{2}{3}\overrightarrow{{\rm AB}}$ より
$\begin{eqnarray*}\overrightarrow{{\rm AK}} & = & \overrightarrow{{\rm AP}} + \overrightarrow{{\rm PK}}\\[1em] & = & \overrightarrow{{\rm AP}} + t\overrightarrow{{\rm PC}}\\[1em] & = & \overrightarrow{{\rm AP}} + t\left( \overrightarrow{{\rm AC}} - \overrightarrow{{\rm AP}} \right)\\[1em] & = & (1-t)\overrightarrow{{\rm AP}} + t\overrightarrow{{\rm AC}} = \dfrac{2(1-t)}{3}\overrightarrow{{\rm AB}} + t\overrightarrow{{\rm AC}}\end{eqnarray*}$
同様に, $\overrightarrow{{\rm AQ}} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{{\rm AC}}$ より
$\begin{eqnarray*}\overrightarrow{{\rm AK}} & = & \overrightarrow{{\rm AQ}} + \overrightarrow{{\rm QK}}\\[1em] & = & \overrightarrow{{\rm AQ}} + s\overrightarrow{{\rm QB}}\\[1em] & = & \overrightarrow{{\rm AQ}} + s\left( \overrightarrow{{\rm AB}} - \overrightarrow{{\rm AQ}} \right)\\[1em] & = & (1- s)\overrightarrow{{\rm AQ}} + s\overrightarrow{{\rm AB}} = s\overrightarrow{{\rm AB}} + \dfrac{1-s}{2} \overrightarrow{{\rm AC}}\end{eqnarray*}$
よって
$\dfrac{2(1-t)}{3}\overrightarrow{{\rm AB}} + t\overrightarrow{{\rm AC}} = s\overrightarrow{{\rm AB}} + \dfrac{1-s}{2} \overrightarrow{{\rm AC}}$
ここで, $\overrightarrow{{\rm AB}}$ と $\overrightarrow{{\rm AC}}$ は線形独立であるから
$\dfrac{2(1-t)}{3} = s$ かつ $t = \dfrac{1-s}{2}$
これを解くと $s = \dfrac{1}{2}$, $t = \dfrac{1}{4}$ となるので
$\overrightarrow{{\rm AK}} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{{\rm AB}} + \dfrac{1}{4}\overrightarrow{{\rm AC}}$
$\overrightarrow{{\rm AR}} = r\overrightarrow{{\rm AK}} = \dfrac{r}{2}\overrightarrow{{\rm AB}} + \dfrac{r}{4}\overrightarrow{{\rm AC}}$
であり, ${\rm R}$ は線分 ${\rm BC}$ 上にあることから
$\dfrac{r}{2} + \dfrac{r}{4} = 1$
よって $r=\dfrac{4}{3}$ であり, $\overrightarrow{{\rm AR}} = \dfrac{2}{3}\overrightarrow{{\rm AB}} + \dfrac{1}{3}\overrightarrow{{\rm AC}}$ である。
係数の決定
1
$\overrightarrow{0}$ でない $2$ つの線形独立なベクトル $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$ が次を満たす時, $p$ と $q$ の値として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$p\left( \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} \right) + q\left( \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} \right) = \overrightarrow{b}$
$p= \dfrac{1}{2}$, $q= -\dfrac{1}{2}$
$p= -\dfrac{1}{2}$, $q= \dfrac{1}{2}$
$p= -1$, $q= 1$
$p= 1$, $q= -1$
$\overrightarrow{0}$ でない $2$ つのベクトル $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$ が線形独立である時
$s \overrightarrow{a} + t \overrightarrow{b} = s'\overrightarrow{a} + t'\overrightarrow{b} $ ならば $s=s'$ かつ $t=t'$
が成り立つ。
$p\left( \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} \right) + q\left( \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} \right) = (p+q)\overrightarrow{a} + (p-q)\overrightarrow{b} = \overrightarrow{b}$
であり, $\overrightarrow{a}$ と $\overrightarrow{b}$ は線形独立であるから
$\left\{ \begin{aligned} p+q &= 0 \\ p-q &= 1 \end{aligned} \right.$
これを解くと $p= \dfrac{1}{2}$, $q= -\dfrac{1}{2}$ となる。
2
$\overrightarrow{0}$ でない $2$ つの線形独立なベクトル $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$ が次を満たす時, $p$ と $q$ の値として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$p\left( \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} \right) + q\left( 2\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} \right) = \overrightarrow{a}$
$p= \dfrac{1}{3}$, $q= \dfrac{1}{3}$
$p= \dfrac{1}{3}$, $q= \dfrac{2}{3}$
$p= \dfrac{2}{3}$, $q= \dfrac{1}{3}$
$p= \dfrac{2}{3}$, $q= -\dfrac{1}{3}$
$\overrightarrow{0}$ でない $2$ つのベクトル $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$ が線形独立である時
$s \overrightarrow{a} + t \overrightarrow{b} = s'\overrightarrow{a} + t'\overrightarrow{b} $ ならば $s=s'$ かつ $t=t'$
が成り立つ。
$p\left( \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} \right) + q\left( 2\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} \right) = (p+2q)\overrightarrow{a} + (p-q)\overrightarrow{b} = \overrightarrow{a}$
であり, $\overrightarrow{a}$ と $\overrightarrow{b}$ は線形独立であるから
$\left\{ \begin{aligned} p+2q &= 1 \\ p-q &= 0 \end{aligned} \right.$
これを解くと $p= \dfrac{1}{3}$, $q= \dfrac{1}{3}$ となる。
3
$\overrightarrow{0}$ でない $2$ つの線形独立なベクトル $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$ が次を満たす時, $p$ と $q$ の値として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$p\left( 2\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} \right) + q\left( \overrightarrow{a} + 2\overrightarrow{b} \right) = \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}$
$p= \dfrac{1}{5}$, $q= \dfrac{3}{5}$
$p= -\dfrac{1}{3}$, $q= \dfrac{1}{3}$
$p= 0$, $q= 1$
$p= 1$, $q= 1$
$\overrightarrow{0}$ でない $2$ つのベクトル $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$ が線形独立である時
$s \overrightarrow{a} + t \overrightarrow{b} = s'\overrightarrow{a} + t'\overrightarrow{b} $ ならば $s=s'$ かつ $t=t'$
が成り立つ。
$p\left( 2\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} \right) + q\left( \overrightarrow{a} + 2\overrightarrow{b} \right) = (2p+q)\overrightarrow{a} + (-p+2q)\overrightarrow{b} = \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}$
であり, $\overrightarrow{a}$ と $\overrightarrow{b}$ は線形独立であるから
$\left\{ \begin{aligned} 2p+q &= 1 \\ -p+2q &= 1 \end{aligned} \right.$
これを解くと $p= \dfrac{1}{5}$, $q= \dfrac{3}{5}$ となる。
4
$\overrightarrow{0}$ でない $2$ つの線形独立なベクトル $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$ が次を満たす時, $p$ と $q$ の値として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$p\left( 3\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} \right) + q\left( -2\overrightarrow{a} + 2\overrightarrow{b} \right) = -\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}$
$p= 0$, $q= \dfrac{1}{2}$
$p= \dfrac{1}{2}$, $q= \dfrac{3}{4}$
$p= -1$, $q= 1$
$p= -\dfrac{3}{8}$, $q= \dfrac{1}{8}$
$\overrightarrow{0}$ でない $2$ つのベクトル $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$ が線形独立である時
$s \overrightarrow{a} + t \overrightarrow{b} = s'\overrightarrow{a} + t'\overrightarrow{b} $ ならば $s=s'$ かつ $t=t'$
が成り立つ。
$p\left( 3\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} \right) + q\left( -2\overrightarrow{a} + 2\overrightarrow{b} \right) = (3p-2q)\overrightarrow{a} + (p+2q)\overrightarrow{b} = -\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}$
であり, $\overrightarrow{a}$ と $\overrightarrow{b}$ は線形独立であるから
$\left\{ \begin{aligned} 3p-2q &= -1 \\ p+2q &= 1 \end{aligned} \right.$
これを解くと $p= 0$, $q= \dfrac{1}{2}$ となる。
5
$\overrightarrow{0}$ でない $2$ つの線形独立なベクトル $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$ が次を満たす時, $p$ と $q$ の値として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$p\left( \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} \right) + q\left( \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} \right) = 3\overrightarrow{a} + 2\overrightarrow{b}$
$p= \dfrac{5}{2}$, $q= \dfrac{1}{2}$
$p= \dfrac{1}{2}$, $q= \dfrac{5}{2}$
$p= \dfrac{1}{2}$, $q= -\dfrac{5}{2}$
$p= \dfrac{5}{2}$, $q= -\dfrac{1}{2}$
$\overrightarrow{0}$ でない $2$ つのベクトル $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$ が線形独立である時
$s \overrightarrow{a} + t \overrightarrow{b} = s'\overrightarrow{a} + t'\overrightarrow{b} $ ならば $s=s'$ かつ $t=t'$
が成り立つ。
$p\left( \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} \right) + q\left( \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} \right) = (p+q)\overrightarrow{a} + (p-q)\overrightarrow{b} = 3\overrightarrow{a} + 2\overrightarrow{b}$
であり, $\overrightarrow{a}$ と $\overrightarrow{b}$ は線形独立であるから
$\left\{ \begin{aligned} p+q &= 3 \\ p-q &= 2 \end{aligned} \right.$
これを解くと $p= \dfrac{5}{2}$, $q= \dfrac{1}{2}$ となる。
6
$\overrightarrow{0}$ でない $2$ つの線形独立なベクトル $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$ が次を満たす時, $p$ と $q$ の値として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$p\left( 2\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} \right) + q\left( 2\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} \right) = -\overrightarrow{a} + 3\overrightarrow{b}$
$p= \dfrac{5}{4}$, $q= -\dfrac{7}{4}$
$p= \dfrac{1}{5}$, $q= -\dfrac{7}{5}$
$p= \dfrac{1}{2}$, $q= -2$
$p= \dfrac{1}{5}$, $q= \dfrac{7}{5}$
$\overrightarrow{0}$ でない $2$ つのベクトル $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$ が線形独立である時
$s \overrightarrow{a} + t \overrightarrow{b} = s'\overrightarrow{a} + t'\overrightarrow{b} $ ならば $s=s'$ かつ $t=t'$
が成り立つ。
$p\left( 2\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} \right) + q\left( 2\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} \right) = (2p+2q)\overrightarrow{a} + (p-q)\overrightarrow{b} = -\overrightarrow{a} + 3\overrightarrow{b}$
であり, $\overrightarrow{a}$ と $\overrightarrow{b}$ は線形独立であるから
$\left\{ \begin{aligned} 2p+2q &= -1 \\ p-q &= 3 \end{aligned} \right.$
これを解くと $p= \dfrac{5}{4}$, $q= -\dfrac{7}{4}$ となる。
7
$\overrightarrow{0}$ でない $2$ つの線形独立なベクトル $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$ が次を満たす時, $p$ と $q$ の値として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$p\left( -\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} \right) + q\left( -2\overrightarrow{a} + 3\overrightarrow{b} \right) = \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$
$p= -5$, $q= 2$
$p= 1$, $q= 0$
$p= 5$, $q= -2$
$p= -1$, $q= 0$
$\overrightarrow{0}$ でない $2$ つのベクトル $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$ が線形独立である時
$s \overrightarrow{a} + t \overrightarrow{b} = s'\overrightarrow{a} + t'\overrightarrow{b} $ ならば $s=s'$ かつ $t=t'$
が成り立つ。
$p\left( -\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} \right) + q\left( -2\overrightarrow{a} + 3\overrightarrow{b} \right) = (-p-2q)\overrightarrow{a} + (p+3q)\overrightarrow{b} = \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}$
であり, $\overrightarrow{a}$ と $\overrightarrow{b}$ は線形独立であるから
$\left\{ \begin{aligned} -p-2q &= 1 \\ p+3q &= 1 \end{aligned} \right.$
これを解くと $p= -5$, $q= 2$ となる。