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$\triangle{\rm ABC}$ において、辺 ${\rm AB}$ を $1:1$ に内分する点を ${\rm P}$、辺 ${\rm AC}$ を $1:2$ に内分する点を ${\rm Q}$ とする。

また、線分 ${\rm BQ}$ と ${\rm CP}$ の交点を ${\rm K}$ とし、直線 ${\rm AK}$ と直線 ${\rm BC}$ との交点を ${\rm R}$ とする。

このとき $\overrightarrow{{\rm AR}}$ を $\overrightarrow{{\rm AB}}$ と $\overrightarrow{{\rm AC}}$ で表したものとして正しいものを以下の選択肢から選びなさい。

$\dfrac{2}{3}\overrightarrow{{\rm AB}} + \dfrac{1}{3}\overrightarrow{{\rm AC}}$

$\dfrac{1}{3}\overrightarrow{{\rm AB}} + \dfrac{2}{3}\overrightarrow{{\rm AC}}$

$\dfrac{2}{5}\overrightarrow{{\rm AB}} + \dfrac{3}{5}\overrightarrow{{\rm AC}}$

$\dfrac{3}{5}\overrightarrow{{\rm AB}} + \dfrac{2}{5}\overrightarrow{{\rm AC}}$

$\overrightarrow{{\rm AP}} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{{\rm AB}}$ より

$AK=AP+PK=AP+tPC=AP+t(ACAP)=(1t)AP+tAC=1t2AB+tAC$

同様に, $\overrightarrow{{\rm AQ}} = \dfrac{1}{3}\overrightarrow{{\rm AC}}$ より

$AK=AQ+QK=AQ+sQB=AQ+s(ABAQ)=(1s)AQ+sAB=sAB+1s3AC$

よって

$\dfrac{1-t}{2}\overrightarrow{{\rm AB}} + t\overrightarrow{{\rm AC}} = s\overrightarrow{{\rm AB}} + \dfrac{1-s}{3} \overrightarrow{{\rm AC}}$

ここで, $\overrightarrow{{\rm AB}}$ と $\overrightarrow{{\rm AC}}$ は線形独立であるから

$\dfrac{1-t}{2} = s$ かつ  $t = \dfrac{1-s}{3}$

これを解くと $s = \dfrac{2}{5}$, $t = \dfrac{1}{5}$ となるので

$\overrightarrow{{\rm AK}} = \dfrac{2}{5}\overrightarrow{{\rm AB}} + \dfrac{1}{5}\overrightarrow{{\rm AC}}$

$\overrightarrow{{\rm AR}} = r\overrightarrow{{\rm AK}} = \dfrac{2r}{5}\overrightarrow{{\rm AB}} + \dfrac{r}{5}\overrightarrow{{\rm AC}}$

であり, ${\rm R}$ は線分 ${\rm BC}$ 上にあることから

$\dfrac{2r}{5} + \dfrac{r}{5} = 1$

よって $r=\dfrac{5}{3}$ であり, $\overrightarrow{{\rm AR}} = \dfrac{2}{3}\overrightarrow{{\rm AB}} + \dfrac{1}{3}\overrightarrow{{\rm AC}}$ である。