$\triangle{\rm ABC}$ において、辺 ${\rm AB}$ を $1:1$ に内分する点を ${\rm P}$、辺 ${\rm AC}$ を $1:2$ に内分する点を ${\rm Q}$ とする。
また、線分 ${\rm BQ}$ と ${\rm CP}$ の交点を ${\rm K}$ とし、直線 ${\rm AK}$ と直線 ${\rm BC}$ との交点を ${\rm R}$ とする。
このとき $\overrightarrow{{\rm AR}}$ を $\overrightarrow{{\rm AB}}$ と $\overrightarrow{{\rm AC}}$ で表したものとして正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$\dfrac{2}{3}\overrightarrow{{\rm AB}} + \dfrac{1}{3}\overrightarrow{{\rm AC}}$
$\dfrac{1}{3}\overrightarrow{{\rm AB}} + \dfrac{2}{3}\overrightarrow{{\rm AC}}$
$\dfrac{2}{5}\overrightarrow{{\rm AB}} + \dfrac{3}{5}\overrightarrow{{\rm AC}}$
$\dfrac{3}{5}\overrightarrow{{\rm AB}} + \dfrac{2}{5}\overrightarrow{{\rm AC}}$
$\overrightarrow{{\rm AP}} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{{\rm AB}}$ より
$\begin{eqnarray*}\overrightarrow{{\rm AK}} & = & \overrightarrow{{\rm AP}} + \overrightarrow{{\rm PK}}\\[1em] & = & \overrightarrow{{\rm AP}} + t\overrightarrow{{\rm PC}}\\[1em] & = & \overrightarrow{{\rm AP}} + t\left( \overrightarrow{{\rm AC}} - \overrightarrow{{\rm AP}} \right)\\[1em] & = & (1-t)\overrightarrow{{\rm AP}} + t\overrightarrow{{\rm AC}} = \dfrac{1-t}{2}\overrightarrow{{\rm AB}} + t\overrightarrow{{\rm AC}}\end{eqnarray*}$
同様に, $\overrightarrow{{\rm AQ}} = \dfrac{1}{3}\overrightarrow{{\rm AC}}$ より
$\begin{eqnarray*}\overrightarrow{{\rm AK}} & = & \overrightarrow{{\rm AQ}} + \overrightarrow{{\rm QK}}\\[1em] & = & \overrightarrow{{\rm AQ}} + s\overrightarrow{{\rm QB}}\\[1em] & = & \overrightarrow{{\rm AQ}} + s\left( \overrightarrow{{\rm AB}} - \overrightarrow{{\rm AQ}} \right)\\[1em] & = & (1- s)\overrightarrow{{\rm AQ}} + s\overrightarrow{{\rm AB}} = s\overrightarrow{{\rm AB}} + \dfrac{1-s}{3} \overrightarrow{{\rm AC}}\end{eqnarray*}$
よって
$\dfrac{1-t}{2}\overrightarrow{{\rm AB}} + t\overrightarrow{{\rm AC}} = s\overrightarrow{{\rm AB}} + \dfrac{1-s}{3} \overrightarrow{{\rm AC}}$
ここで, $\overrightarrow{{\rm AB}}$ と $\overrightarrow{{\rm AC}}$ は線形独立であるから
$\dfrac{1-t}{2} = s$ かつ $t = \dfrac{1-s}{3}$
これを解くと $s = \dfrac{2}{5}$, $t = \dfrac{1}{5}$ となるので
$\overrightarrow{{\rm AK}} = \dfrac{2}{5}\overrightarrow{{\rm AB}} + \dfrac{1}{5}\overrightarrow{{\rm AC}}$
$\overrightarrow{{\rm AR}} = r\overrightarrow{{\rm AK}} = \dfrac{2r}{5}\overrightarrow{{\rm AB}} + \dfrac{r}{5}\overrightarrow{{\rm AC}}$
であり, ${\rm R}$ は線分 ${\rm BC}$ 上にあることから
$\dfrac{2r}{5} + \dfrac{r}{5} = 1$
よって $r=\dfrac{5}{3}$ であり, $\overrightarrow{{\rm AR}} = \dfrac{2}{3}\overrightarrow{{\rm AB}} + \dfrac{1}{3}\overrightarrow{{\rm AC}}$ である。