$\overrightarrow{0}$ でない $2$ つの線形独立なベクトル $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$ が次を満たす時, $p$ と $q$ の値として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$p\left( -\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} \right) + q\left( -2\overrightarrow{a} + 3\overrightarrow{b} \right) = \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$
$p= -5$, $q= 2$
$p= 1$, $q= 0$
$p= 5$, $q= -2$
$p= -1$, $q= 0$
$\overrightarrow{0}$ でない $2$ つのベクトル $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$ が線形独立である時
$s \overrightarrow{a} + t \overrightarrow{b} = s'\overrightarrow{a} + t'\overrightarrow{b} $ ならば $s=s'$ かつ $t=t'$
が成り立つ。
$p\left( -\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} \right) + q\left( -2\overrightarrow{a} + 3\overrightarrow{b} \right) = (-p-2q)\overrightarrow{a} + (p+3q)\overrightarrow{b} = \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}$
であり, $\overrightarrow{a}$ と $\overrightarrow{b}$ は線形独立であるから
$\left\{ \begin{aligned} -p-2q &= 1 \\ p+3q &= 1 \end{aligned} \right.$
これを解くと $p= -5$, $q= 2$ となる。