$\overrightarrow{0}$ でない $2$ つの線形独立なベクトル $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$ が次を満たす時, $p$ と $q$ の値として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$p\left( \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} \right) + q\left( \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} \right) = \overrightarrow{b}$
$p= \dfrac{1}{2}$, $q= -\dfrac{1}{2}$
$p= -\dfrac{1}{2}$, $q= \dfrac{1}{2}$
$p= -1$, $q= 1$
$p= 1$, $q= -1$
$\overrightarrow{0}$ でない $2$ つのベクトル $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$ が線形独立である時
$s \overrightarrow{a} + t \overrightarrow{b} = s'\overrightarrow{a} + t'\overrightarrow{b} $ ならば $s=s'$ かつ $t=t'$
が成り立つ。
$p\left( \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} \right) + q\left( \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} \right) = (p+q)\overrightarrow{a} + (p-q)\overrightarrow{b} = \overrightarrow{b}$
であり, $\overrightarrow{a}$ と $\overrightarrow{b}$ は線形独立であるから
$\left\{ \begin{aligned} p+q &= 0 \\ p-q &= 1 \end{aligned} \right.$
これを解くと $p= \dfrac{1}{2}$, $q= -\dfrac{1}{2}$ となる。