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$2$ つのベクトル $\overrightarrow{a} = (-5,7,-4)$, $\overrightarrow{b} = (-2,1,-6)$ に対し $\overrightarrow{a} + t\overrightarrow{b}$ の大きさが最小になる時の実数 $t$ の値として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$-1$
$1$
$-2$
$7$
$\overrightarrow{a} + t\overrightarrow{b} =(-5-2t,7+t,-4-6t)$
より
$\begin{eqnarray*}|\overrightarrow{a} + t\overrightarrow{b}|^2 & = & (-5-2t)^2 + (7+t)^2 + (-4-6t)^2\\[1em] & = & 41t^2 + 82 t+ 90 \\[1em] & = & 41(t+1)^2 + 49\end{eqnarray*}$
よって $t=-1$ の時 $|\overrightarrow{a} + t\overrightarrow{b}|$ は最小値 $\sqrt{49} = 7$ を取る。