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以下のベクトル $\overrightarrow{x}$, $\overrightarrow{y}$, $\overrightarrow{z}$ と $\overrightarrow{p}$ に対し,
$\overrightarrow{p} = a\overrightarrow{x} + b\overrightarrow{y} + c\overrightarrow{z}$
と表した時の $c$ の値として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$\overrightarrow{x} = (-1,-1,-2)$, $\overrightarrow{y} = (3,1,4)$, $\overrightarrow{z} = (0,-4,-3)$, $\overrightarrow{p} = (3,1,2)$
$-2$
$2$
$5$
$-5$
$a\overrightarrow{x} + b\overrightarrow{y} + c\overrightarrow{z} = (-a + 3b , -a + b - 4c , -2a + 4b - 3c )$
より
$\left\{ −a+3b=3 ⋯(i)−a+b−4c=1 ⋯(ii)−2a+4b−3c=2 ⋯(iii) \right.$
$({\rm i}) $ より
$a = 3b-3$
$({\rm ii})$ と $({\rm iii})$ に代入し整理すると
$\left\{ −2b−4c=−2−2b−3c=−4 \right.$
これを解くと $b = 5$, $c = -2$ であり, $a = 3b-3 = 12$ である。