以下のベクトル $\overrightarrow{x}$, $\overrightarrow{y}$, $\overrightarrow{z}$ と $\overrightarrow{p}$ に対し,
$\overrightarrow{p} = a\overrightarrow{x} + b\overrightarrow{y} + c\overrightarrow{z}$
と表した時の $a$ の値として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$\overrightarrow{x} = (2,3,-4)$, $\overrightarrow{y} = (-1,-3,0)$, $\overrightarrow{z} = (-1,-4,-1)$, $\overrightarrow{p} = (-5,0,4)$
$11$
$-11$
$43$
$-43$
$a\overrightarrow{x} + b\overrightarrow{y} + c\overrightarrow{z} = (2a - b - c , 3a - 3b - 4c , -4a - c )$
より
$\left\{ \begin{aligned} 2a - b - c &= -5 ~~\cdots({\rm i})\\ 3a - 3b -4c &= 0 ~~\cdots({\rm ii})\\ -4a -c &= 4 ~~\cdots({\rm iii})\end{aligned} \right.$
$({\rm iii}) $ より
$c = -4a-4$
$({\rm i})$ と $({\rm ii})$ に代入し整理すると
$\left\{ \begin{aligned} 6a-b & = -9 \\ 19a - 3b &= -16 \end{aligned} \right.$
これを解くと $a = 11$, $b = 75$ であり, $({\rm iii})$ より $c = -48$ である。