空間ベクトルの大きさ（成分表示）2 05

空間ベクトルの大きさ（成分表示）2

$2$ つのベクトル $\overrightarrow{a} = (-2,2,-1)$, $\overrightarrow{b} = (-3,-5,-4)$ に対し $\overrightarrow{a} + t\overrightarrow{b}$ の大きさが最小になる時の実数 $t$ の値として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。

$0$

$-\dfrac{4}{5}$

$-\dfrac{2}{5}$

$\dfrac{2}{5}$

$\overrightarrow{a} + t\overrightarrow{b} =(-2-3t,2-5t,-1-4t)$

より

$ $\begin{eqnarray*}|\overrightarrow{a} + t\overrightarrow{b}|^2 & = & (-2-3t)^2 + (2-5t)^2 + (-1-4t)^2\\[1em] & = & 50t^2 + 9\end{eqnarray*}$ $

よって $t=0$ の時 $|\overrightarrow{a} + t\overrightarrow{b}|$ は最小値 $\sqrt{9} = 3$ を取る。